הבדלים בין גרסאות בדף "פנים (טופולוגיה)"

מ
זוטות
מ (נבדק)
מ (זוטות)
ב[[טופולוגיה]], ה'''פְּנים''' של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] הוא, אינטואיטיבית, אוסף הנקודות שנמצאות "בתוך" הקבוצה ולא על [[שפה (טופולוגיה)|השפה]] שלה. נהוג לסמן את הפנים של קבוצה <math>\ A</math> ב-<math>\ IntA</math> או ב-<math>\ A^{\circ}</math>.
[[en:Interior (topology)]]
ב[[טופולוגיה]], ה'''פְּנים''' של קבוצה הוא, אינטואיטיבית, אוסף הנקודות שנמצאות "בתוך" הקבוצה ולא על [[שפה (טופולוגיה)|השפה]] שלה.
 
==הגדרה פורמלית==
ישנן כמה דרכים שקולות להגדיר את הפנים של קבוצה:
 
*תהא <math>\!\, A</math> קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה, <math>\!\, \mbox{Int}(A)</math>, בתור קבוצת כל הנקודות <math>\!\, x\isin A</math> כך שקיימת [[קבוצה פתוחה]] <math>\!\, B</math> כך ש<math>\!\, x\isin B\subseteq A</math> - כלומר, הקבוצה <math>\!\, A</math> מכילה [[סביבה (טופולוגיה)|סביבה]] של <math>\!\, x</math>.
 
*תהא <math>\!\, A</math> קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה בתור הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר שמוכלת ב<math>\!\, A</math>. על פי הגדרה זו, הפנים הוא איחוד כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב <math>\!\, A</math>.
 
*תהא <math>\!\, A</math> קבוצה כלשהי [[מרחב טופולוגי|במרחב טופולוגי]]. נגדיר את הפנים שלה באמצעות הנוסחה הבאה המערבת [[משלים (מתמטיקה)|משלים]] ו[[סגור (טופולוגיה)|סגור]]: <math>\ \mbox{Int}(A) = ( \overline{A^c} )^c </math>.
 
=== דוגמה ===
נחשב את הפנים של ה[[קטע]] הסגור <math>\ [0,1]</math> בישר הממשי.
 
נחשב את הפנים של ה[[קטע]] הסגור [0,1] בישר הממשי.
: <math>\ [0,1]^c = (\infty,0) \cup (1,\infty)</math>
: <math>\ \overline{[0,1]^c} = (\infty,0] \cup[(1,\infty)</math>
: <math>\ (\overline{[0,1]^c})^c = (0,1)</math>
ולכן הפנים של <math>\ [0,1]</math> הוא הקטע הפתוח <math>\ (0,1)</math>.
 
==תכונות הפנים==
נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות [[סגור (טופולוגיה)|הסגור]].
*כל [[קבוצה פתוחה]] שווה לפנים שלה: <math>\!\, A=\mbox{Int}(A)</math>. בפרט הפנים הוא קבוצה פתוחה ולכן <math>\!\, \mbox{Int}(A)=\mbox{Int}\left(\mbox{Int}(A)\right)</math>.
*<math>\!\, A\subseteq B \rArr \mbox{Int}(A)\subseteq \mbox{Int}(B)</math>.
*<math>\!\, \mbox{Int}\left(A\cup B\right)\subseteq \mbox{Int}(A)\cup \mbox{Int}(B)</math>.
*<math>\!\, \mbox{Int}\left(A\cap B\right)= \mbox{Int}(A)\cap \mbox{Int}(B)</math>.
 
----
[[קטגוריה: טופולוגיה]]
{{נבדק}}
{{טופולוגיה}}
[[קטגוריה: טופולוגיה]]
 
[[en:Interior (topology)]]
[[ko:&#45236;&#48512; (&#50948;&#49345;&#49688;&#54617;)]]
[[pl:Wn&#281;trze (topologia)]]
[[zh:&#20869;&#37096;]]