מערכת פאנו – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←מודלים: קישורים פנימיים |
מ בוט החלפות: שנייה; מדויק; על ידי; |
||
שורה 1:
'''מערכת פאנו''' היא מודל ל[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]], המקיים אקסיומות המנוסחות ב[[שפה מסדר שני]], וכוללות רק שני מושגי יסוד שאינם מוגדרים: הקבוע "0", וה[[פונקציה אונארית|פונקציה האונארית]] "עוקב". משני מושגים אלה מאפשרות האקסיומות לבנות (ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]]) את פעולות החיבור והכפל. מערכת פאנו היא [[מערכות מספרים|מערכת המספרים]] הבסיסית ביותר, וממנה אפשר לבנות את [[חוג המספרים השלמים|המספרים השלמים]], את [[שדה המספרים הרציונליים|המספרים הרציונליים]], ואת שאר מערכות המספרים. את האקסיומות הציע ה[[מתמטיקאי]] האיטלקי [[ג'וזפה פאנו]] בשנת 1889.
מערכת פאנו מהווה ניסוח אקסיומטי ראשון למספרים הטבעיים, שעד סוף המאה ה-19 נחשבו יסודיים במידה שאין למעלה ממנה. האקסיומות המתארות את מערכת פאנו
==הגדרה פורמלית==
שורה 35:
[[ריכארד דדקינד]] הוכיח שמערכת האקסיומות של פאנו היא [[מערכת קטגורית|קטגורית]], כלומר: כל שני [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודלים]] של מערכת זו הם [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפיים]].
בניסוח פורמלי יותר: אם <math>\ < \omega_A,0_A,S_A > </math> ו- <math>\ < \omega_B,0_B,S_B > </math> הם שני מודלים של מערכת פאנו, אז הפונקציה: <math>\ f: \omega_A \to \omega_B </math> המוגדרת (על-פי אקסיומת האינדוקציה של המערכת הראשונה) על
=== הגדרת המספרים הטבעיים על-פי האקסיומות של תורת הקבוצות===
אפשר לנקוט בשלוש גישות לגבי מהותם של המספרים הטבעיים. הראשונה, להניח שהמספרים הטבעיים הם, כשמם, ישות טבעית שקיומה הוא הנחה אינטואיטיבית ומקובלת.
* נגדיר את המספר 0 כקבוצה הריקה <math>\emptyset</math>.
* לכל קבוצה A נגדיר את העוקב של A על ידי: <math>\ S(A)=A \cup \{A\}</math>
|