ויקיפדיה

סדרת פונקציות – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מ הגהה
שורה 16:
=== התכנסות נקודתית ===
 
אנו אומרים שהסדרה <math>\ \{ f_n \}_{n=1}^{\infty} </math> מתכנסמתכנסת נקודתית ב ב־<math>\ x=x_0</math> אם הסדרה <math>\ \{ f_n (x_0) \}_{n=1}^{\infty} </math> (שימו לב שזוהישמדובר סדרתבסדרת מספרים ממשיים) מתכנסת.
 
אנו אומרים שסדרת מספרים מתכנסת נקודתית (בתחוםבכל הגדרה)תחום הגדרתה אם לכל נקודה x בתחום הגדרתהזה, הסדרה <math>\ \{ f_n (x) \}_{n=1}^{\infty} </math> מתכנסת.
בלשון פורמלית:
: <math>\ \forall \varepsilon > 0 \ : \ \forall x \in A \ : \ \exist N_x > 0 \ : \ \mbox{such that} \ \forall n,m > N_x : | f_n (x) - f_m (x) | < \varepsilon </math>
(זהו למעשה תנאי[[סדרת לכךקושי|קריטריון שהסדרהקושי]] להתכנסות הסדרה <math>\ \{ f_n (x) \}_{n=1}^{\infty} </math> היאלכל [[סדרת<math>\ קושי]] אבל ב[[שדה המספרים הממשיים]] - שהוא [[מרחב מטרי]] [[מרחב שלם|שלם]] - זה שקול להתכנסות הסדרהx</math>.)
 
את פונקציית הגבול, נסמן כב־<math>\ f</math> והיא מוגדרת באופן הבא -
: <math>\ \forall x \in A \ : \ f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n (x)</math>
 
שורה 30:
{{הפניה למאמר ראשי|התכנסות במידה שווה}}
 
זהו סוג חזק יותר של התכנסות של סדרת פונקציות. בעוד שבהתכנסות נקודתית כל נקודה יכולה (ליתר דיוק, בכל נקודה סדרת הפונקציות יכולה) להתכנס בקצב שלהמשלה, הרי שב[[התכנסות במידה שווה]], קצב ההתכנסות חייב להיות אחיד לכל הנקודות בתחום ההגדרה. במלים אחרות, '''לכל''' אפסילון '''קיים'' <math>\ N מספיק>0</math> גדול מספיק שעבורו לכל'''כל''' הפונקציות בסדרה בעלישהאינדקס אינדקסשלהן הגדולגדול ממנו, כל ערכי הנקודות בתחום ההגדרה מרוחקות עד כדי אפסילון מהערכים בפונקצייתשבפונקציית הגבול '''בכל'' הנקודות בתחום ההגדרה. כלומר: המקסימוםבמילים אחרות, [[חסם (מתמטיקה)|החסם העליון]] של הפרשי הפונקציות שואף לאפס כאשר N שואף לאינסוף.
 
באופן פורמלי, תהא <math>\ \{f_{n}\}_{n=1}^\infty</math> סדרה של פונקציות [[מספר ממשי|ממשיות]]. נאמר כי הסדרה מתכנסת במידה שווה (במ"ש) לפונקציית הגבול בקבוצה <math>\ A</math> [[אם ורק אם]] לכל <math>\ \varepsilon>0</math> קיים <math>\ N</math> [[מספר טבעי|טבעי]] כך ש'''לכל''' <math>\ x\isin A</math> ו'''לכל''' <math>\ n>N</math> מתקיים <math>\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon</math>.
שורה 36:
דרישה שקולה לכך היא ש <math>\ \sup_{x \in A}| f_n (x) - f(x) | \to 0</math> כאשר n שואף ל[[אינסוף]].
 
הערה: התכנסות במידה שווה היא למעשה [[התכנסות בנורמה]] כאשר ה[[נורמה (מתמטיקה)|נורמההנורמה]] כאן היא נורמת [[סופרמום]]: <math>\ \| g \| \equiv \sup_{x \in A}| g(x) |</math>. לכן התכנסות זאת נקראת גם "התכנסות בנורמת סופרמום".
 
=== התכנסות בממוצע ===
שורה 42:
זהו סוג התכנסות חלש יותר מהשניים הקודמים. זוהי למעשה התכנסות תחת סימן ה[[אינטגרל]] ולכן היא מחליקה פונקציות ואף מתעלמת מ[[סינגולריות]] ש[[מידה אפס|מידתן היא אפס]].
 
נאמר שסדרת פונקציות <math>\ \{f_{n}\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת לל־<math>\ f</math> בממוצע אם:
: <math>\ \int_{A}{ | f_n (x) - f(x) | dx } \to 0</math> כאשר n שואף ל[[אינסוף]].
בצורה יותר [[ריגורוזי|ריגורוזית]], מגדירים את ה[[אינטגרל]] כאן באמצעות [[אינטגרל לבג]] המבוסס על [[תורת המידה]].
שורה 49:
נאמר שסדרת פונקציות <math>\ \{f_{n}\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת ל f בממוצע אם
: <math>\ \int_{A}{ | f_n (x) - f(x) |^2 dx } \to 0</math> כאשר n שואף ל[[אינסוף]].
הסיבה לכך היא שזו בעצם [[נורמה (מתמטיקה)]] במרחב L<submath>2\ L_2</submath> שהוא [[מרחב הילברט]] המופיע הרבה ב[[אנליזה פונקציונלית]].
 
=== התכנסות חלשה ===
 
יהי <math>\ F</math> מרחב הפונקציות שלנו עם נורמה כלשהי, ונניח שהוא [[מרחב בנך]]. תהי <math>\ \{ f_n \}_{n=1}^{\infty} \subset F</math> סדרת פונקציות. נאמר ש <math>\ f_n \to^{w} f</math> מתכנס באופן חלש אם לכל [[פונקציונל]] רציף וחסום מעל <math>\ F</math>, כלומר: לכל <math>\ \phi \in F^{*}</math> , מתקיים ש <math>\ \phi (f_n) \to \phi (f)</math> כאשר <math>\ n</math> שואף לאינסוף. זוהי למעשה התכנסות ב[[טופולוגיה חלשה]].
 
== ראו עוד ==
שורה 67:
 
{{אנליזה מתמטית}}
 
[[קטגוריה:אנליזה מתמטית]]
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/סדרת_פונקציות"