מחלקה (תורת החבורות) – הבדלי גרסאות

ב[[תורת החבורות]], '''מחלקה''' או '''קוֹסֵט''' (coset) של תת -חבורה <math>\ H</math> היא קבוצה של איברי [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] <math>\ G</math> שמתקבלים מהכפלת אברי <math>\ H</math> באיבר כלשהו מהחבורה. כל המחלקות של תת -חבורה כלשהי <math>\ H</math> מהווים חלוקה של <math>\ G</math> לקבוצות שוות [[עוצמה|בעוצמתן]]. מספר המחלקות הימניות (או השמאליות, ההגדרה שקולה) של תת -חבורה H בחבורה Gנקרא '''האינדקס''' של H ב G, ומסומן <math>\ [G:H]</math>. אם G סופית, אינדקס זה שווה ל-<math>\ [G:H] = \frac{|G|}{|H|}</math>.

תהא <math>\ G </math> חבורה ותהא <math>\ H\subseteq G </math> תת -חבורה שלה. יהא <math>\ g\isin G </math> איבר כלשהו, אז הקבוצה <math>\ gH=\left\{gh|h\isin H\right\} </math> תיקרא '''מחלקה שמאלית''' (או קוסט שמאלי) של <math>\ H </math> ב-<math>\ G </math>, והקבוצה <math>\ Hg=\left\{hg|h\isin H\right\} </math> תיקרא '''מחלקה ימנית''' (או קוסט ימני) של <math>\ H </math> ב-<math>\ G </math>.

קל להוכיח כי כל שתי מחלקות הן או זהות, או [[קבוצות זרות|זרות]], כלומר: לכל תת -חבורה <math>\ H</math>, המחלקות של <math>\ H</math> הן [[חלוקה (תורת הקבוצות)|חלוקה]] של <math>\ G</math> לקבוצות זרות.

בנוסף, בהינתן תת -חבורה <math>\ H</math>, מספר האיברים בכל מחלקה זהה ושווה למספר האיברים ב-<math>\ H</math>. במקרה של חבורות אינסופיות, [[עוצמה|עוצמת]] המחלקות שווה. מכאן נובע [[משפט לגראנז' (תורת החבורות)|משפט לגראנז']]: [[סדר (בתורת החבורות)|הסדר]] של כל חבורה סופית מתחלק בסדר תתי החבורות שלה.

ניקח את החבורה <math>\ (\mathbb{Z},+)</math>, כלומר חבורת השלמים פעולת החיבור. <math>\ 4\mathbb{Z}</math> היא תת -חבורה שלה - כל השלמים המתחלקים ב - 4 ללא שארית. לתת חבורה זו יש בדיוק 4 מחלקות: