קומוטטור – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
TXiKiBoT (שיחה | תרומות)
מ בוט מוסיף: ko:교환자
Yonidebot (שיחה | תרומות)
מ בוט החלפות: תת-;
שורה 22:
איברים המתקבלים מלקיחת קומוטטור k פעמים נקראים 'קומוטטורים ממשקל k' (למשל, <math>\ [[a,b],[c,d]]</math> הוא קומוטטור ממשקל 3), והם קשורים לתכונות של החבורה כמו [[חבורה פתירה|פתירות]] או [[חבורה נילפוטנטית|נילפוטנטיות]]. לשם הקיצור, מקובל לסמן <math>\ [a,b,c]=[a,[b,c]]</math> (קומוטטור ממשקל 2), ובאופן כללי <math>\ [a_1,a_2,\dots,a_k]=[a_1,[a_2,\dots,a_{k}]]</math>. תת-החבורה של G הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים <math>\ [a_1,a_2,\dots,a_k]</math> מסומנת ב- <math>\ G_k</math>, וכך <math>\ G'=G_2</math> ובאופן כללי <math>\ G_{k+1}=[G,G_k]</math>. [[חבורה נילפוטנטית]] ממחלקה k היא כזו שבה <math>\ G_{k+1}=1</math>.
 
קומוטטורים מקיימים מספר זהויות חשובות, למשל <math>\ [a,b]=[b,a]^{-1}</math> ו- <math>\ [a,bc]=[a,b][a,c]^b</math> כאשר <math>\ x^y</math> הוא סימון מקוצר לצמוד <math>\ xyx^{-1}</math>. זהות ידועה אחרת היא '''זהות יעקובי''': <math>\ [x,y^{-1},z]^y [y,z^{-1},x]^z [z,x^{-1},y]^x=1</math>. מזהות זו נובעת [[למת שלוש תת -החבורות]]: אם H,K,L תת-חבורות נורמליות של G, אז <math>\ [H,K,L]\subseteq [K,L,H][L,H,K]</math>. בפרט (אם נבחר K=L) מתקיים <math>\ [H,[L,L]]\subseteq [L,[L,H]]</math>. אם כעת נבחר <math>\ H=[L,L]</math> נקבל <math>\ [[L,L],[L,L]]\subseteq [L,[L,[L,L]]]</math>, כלומר <math>\ G''\subseteq G_4</math>. זהו מקרה פרטי של משפט כללי יותר: כל הקומוטטורים ממשקל k שייכים ל- <math>\ G_{k+1}</math>. אם כך, בחבורה נילפוטנטית ממחלקה k, כל הקומוטטורים ממשקל k הם טריוויאליים.
 
==מושגים דומים==