בסיס (אלגברה) – הבדלי גרסאות

נוספו 2,205 בתים ,  לפני 13 שנים
שוחזר מעריכה של 79.179.131.120 לגרסה 6046214 של Yonidebot
(שוחזר מעריכה של 79.179.131.120 לגרסה 6046214 של Yonidebot)
 
 
== משפטים מרכזיים ==
אלגברה זה חרא שלא נחוץ לאף אחד
 
התוצאה היסודית על בסיסים היא צמד המאפיינים שצוטטו בפתיחה. כדי לפתח את הנושא ללא הנחות מוקדמות, יש להוכיח כצעד ראשון שאם B קבוצה בלתי תלויה מקסימלית ו- C קבוצה פורשת מינימלית, אז <math>\ |C|\leq |B|</math> (למשל באינדוקציה על גודל החיתוך של <math>B,C</math> ושימוש ב[[למת ההחלפה של שטייניץ]]). לאחר מכן אפשר להוכיח שאם D גם היא קבוצה בלתי תלויה, אז <math>\ |D|\leq |B|</math>. מכאן נובע מיד שלכל שתי קבוצות בלתי-תלויות מקסימליות יש אותו גודל. מכאן אפשר להמשיך כך:
כמו כן, אלגברה=קקי
 
'''משפט.''' התכונות הבאות שקולות עבור קבוצה A של וקטורים:
* הקבוצה בלתי-תלויה מקסימלית.
* הקבוצה פורשת מינימלית.
* הקבוצה פורשת ובלתי תלויה.
 
'''משפט.''' נניח שלמרחב V יש בסיס בגודל n. אז התכונות הבאות שקולות עבור קבוצה A:
* A בלתי תלויה מקסימלית.
* A פורשת מינימלית.
* A בסיס.
* A בלתי תלויה וגודלה <math>\ n\leq </math>.
* A בלתי תלויה וגודלה <math>\ n= </math>.
* A פורשת וגודלה <math>\ n \geq</math>.
* A פורשת וגודלה <math>\ n =</math>.
 
כאשר n סופי אומרים של-V יש '''מימד''' n, ולפי המשפט n יחיד.
 
תכונה חשובה נוספת: כל קבוצה בלתי תלויה אפשר להשלים לבסיס (ובאופן דואלי, מכל קבוצה פורשת סופית אפשר 'לזרוק' וקטורים עד שתהפוך להיות בסיס).
נ.ב.
 
'''טענה.''' העמודות והשורות של [[מטריצה ריבועית]] מסדר <math>\ n\times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> מהוות בסיס למרחב <math>\ \mathbb{F}^n</math> אם ורק אם ה[[דטרמיננטה]] שלה שונה מאפס.
בני גורן תמות!!
 
'''מסקנה.''' עבור מרחב וקטורי ממימד סופי n, השימוש בדטרמיננטה היא דרך חישובית ישירה לקביעה האם קבוצה של n וקטורים היא בסיס.
 
==דוגמה==