עוצמת הרצף – הבדלי גרסאות

'''עוצמת הרצף''' היא ה[[עוצמה]] של [[שדה המספרים הממשיים|המספרים הממשיים]]. עוצמת הרצף מסומנת באות <math>\!\ \aleph</math>, וכן מקובל גם הסימון <math>\!\, c</math> לעוצמה זו.

 

 

שאלה שהטרידה את המתמטיקאים במשך שנים רבות היא "האם ניתן להחליף את הסימן <math>\!\, \aleph</math> בסימן <math>\!\, \aleph_1</math> ?", כלומר האם כאשר נסדר את העוצמות לפי גודלן, עוצמת הממשיים ([[עוצמת הרצף]]) תבוא מיד לאחר עוצמת הטבעיים, או שיש עוצמה נוספת בין שתיהן. ההשערה של קנטור, שזכתה לשם "[[השערת הרצף]]", הייתה שהתשובה לשאלה זו חיובית, כלומר שכל [[קבוצה אינסופית]] שאינה בת מנייה, היא לפחות בעלת עוצמת הרצף. אחרי עשרות שנים שבהן בעיה זו הייתה [[בעיה פתוחה במתמטיקה|פתוחה]] הוכיח [[קורט גדל]], בשנת [[1940]], שהשערת הרצף אינה עומדת בסתירה למערכת ה[[אקסיומה|אקסיומות]] של תורת הקבוצות (אקסיומות [[אקסיומות צרמלו-פרנקל|צרמלו-פרנקל]]). בשנת [[1963]] הוכיח המתמטיקאי [[פול כהן]] שהשערת הרצף אינה תלויה במערכת האקסיומות של תורת הקבוצות. שתי הוכחות אלה פירושן שעל השערת הרצף חל [[משפט אי השלמות של גדל]], כלומר אי אפשר ל[[הוכחה|הוכיחה]] ואי אפשר ל[[הפרכה|הפריכה]], ולכן ה[[עקביות (לוגיקה מתמטית)|עקביות]] של תורת הקבוצות לא תינזק אם נוסיף אקסיומה הקובעת שההשערה נכונה, וגם לא אם לחלופין נוסיף אקסיומה הקובעת שהיא אינה נכונה.