הבעיות הגאומטריות של ימי קדם – הבדלי גרסאות

בעיית '''תַּרְבּוּעַ העיגול''' (או '''ריבוע העיגול''') דורשת לבנות [[ריבוע]] השווה ב[[שטח (מתמטיקה)|שטחו]] ל[[עיגול]] נתון. לבעיה זו הוצעו כל כך הרבה פתרונות שגויים, עד שבשנת [[1775]] החליטה [[האקדמיה הצרפתית למדעים]] שלא לבדוק יותר פתרונות לבעיה זו.

 

 

בשנת [[1882]] הוכיח [[פרדיננד לינדמן]] שעבור כל α) [[מספר אלגברי|אלגברי]] שאינו 0, math>\,e^{\alpha}</math> הוא [[מספר טרנסצנדנטי]] (ראו [[אי תלות אלגברית]]). מכאן ניתן [[הוכחה בדרך השלילה|להוכיח בשלילה]] שפאי טרנסצנדנטי. נניח שפאי הוא מספר אלגברי. מכיוון ש-i (השורש הריבועי של 1-) אלגברי, גם מכפלה i ופאי אלגברית. [[זהות אוילר]] קובעת כי :<math>e^{i \pi} = -1 \,\!</math>