ממד קרול – הבדלי גרסאות

ב[[מתמטיקה]], ובמיוחד ב[[אלגברה]] [[חילופיות|קומוטטיבית]] וב[[גאומטריה אלגברית]], '''מימדממד קרול''' של [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] חילופי ''R'' (קרוי על שם [[וולפגנג קרול]]), מוגדר להיות מספר ההכלות המקסימלי בשרשרת עולה של [[אידאל ראשוני|אידאלים ראשוניים]].

נניח כי ''R'' הוא חוג חילופי, וכי <math>\,P_0,P_1,\dots,P_n</math> הם אידאלים ראשוניים ב''R'', כך ש<math>\,P_0 \subsetneq P_1 \subsetneq \dots \subsetneq P_n</math>. אז נאמר שאידאלים ראשוניים אלו יוצרים שרשרת באורך ''n''. '''מימדממד קרול''' של ''R'' מוגדר להיות ה[[חסם עליון|חסם העליון]] של כל אורכי השרשראות של אידאלים ראשוניים.

* האידאלים הראשוניים היחידים בחוג המספרים השלמים <math>\,\mathbb{Z}</math> הם אידאלים ראשיים מהצורה <math>p\mathbb{Z}</math> כאשר ''p'' [[מספר ראשוני]], וכן אידאל האפס. כמו כן, אף אידאל ראשוני (מלבד אידאל האפס) אינו מוכל באידאל ראשוני אחר, ולפיכך השרשרת העולה המקסימלית של אידאלים ראשוניים היא השרשרת <math>\,(0) \subsetneq p\mathbb{Z}</math>. לפיכך מימדממד קרול של חוג המספרים השלמים הוא 1.

* האידאל הראשוני היחיד ב[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] הוא אידאל האפס, לכן מימדממד קרול של כל שדה הוא 0.

* אם ''R'' הוא חוג [[חוג נתרי|נתרי]] ממימדמממד ''k'', ניתן להוכיח כי מימדממד קרול של <math>\,R[x]</math> ([[חוג הפולינומים]] במשתנה אחד מעל ''R'') הוא בדיוק ''k+1''.

* בהמשך לדוגמה הקודמת, אם ''K'' שדה, אז מימדממד קרול של החוג <math>\,K[x_1,\dots,x_n]</math> הוא בדיוק ''n''.