אידיאל (אלגברה) – הבדלי גרסאות

אידיאל הנוצר על-ידי איבר אחד נקרא '''אידיאל ראשי'''. לאידיאל שמאלי ראשי יש הצורה <math>\ Ra=\{ra | r\in R\}</math>, ולאידיאל ימני ראשי הצורה הדואלית, <math>\ aR=\{ar | r\in R\}</math>. האידאל (הדו-צדדי) הנוצר על ידי <math>\,a</math> הוא קבוצה גדולה בהרבה: <math>\ RaR = \{r_1 a r_1'+\dots r_n a r_n'\}</math>, הכוללת את כל המכפלות <math>\ rar'</math> וכל הסכומים שלהן. כל אידאל הוא סכום (לאו דווקא סופי) של אידאלים כאלה.

[[תחום שלמות]] שבו כל האידאלים ראשיים נקרא [[תחום ראשי]]. לדוגמה, ב[[חוג המספרים השלמים|בחוגחוג המספרים השלמים]], הקבוצה <math>\ 3\mathbb{Z}</math>, קבוצת כל המספרים השלמים המתחלקים בשלוש, היא אידאל ראשי. קל לוודא שמדובר באידאל. (כיוון שהפרש שתי כפולות של שלוש הוא כפולה של שלוש ומכפלת מספר המתחלק בשלוש בכל מספר שלם אחר תתחלק גם היא בשלוש.). חוג המספרים השלמים הוא חוג ראשי.