הבדלים בין גרסאות בדף "משפט וילסון"

אין שינוי בגודל ,  לפני 12 שנים
אין תקציר עריכה
(ראו [[חשבון מודולרי]] ו[[עצרת]] ל[[סימן מתמטי|סימונים]]).
 
== היסטוריה ==
 
הראשון שגילה את המשפט היה ככל הנראה המתמטיקאי ה[[הודי]] Bhāskara I, מאוחר יותר המשפט הוסבר על-ידי המדען ה[[ערבי]] [[איבן אל-היית'ם]] ב[[ימי הביניים]], בערך בשנת 1000 לספירה. המשפט קרוי על שמו של [[ג'ון וילסון]], מתמטיקאי אנגלי וסטודנט של [[אדוארד וארינג]], שהזכיר את המשפט במאה ה-18. וארינג הכריז על המשפט ב-1770 למרות שגם הוא וגם וילסון לא יכלו להוכיח אותו. [[ז'וזף לואי לגראנז'|לגראנז']] היה הראשון להוכיח את המשפט בשנת 1773. ישנן ראיות ש[[גוטפריד וילהלם לייבניץ|לייבניץ]] היה מודע לכך כעשור קודם לכן, אך לעולם לא פרסם זאת.
 
== הוכחה ==
 
למשפט שני כיוונים, ראשית נוכיח את המשפט "אם מספר <math>\ m</math> [[מחלק]] את <math>\ 1+!(m-1)</math> אז <math>\ m</math> ראשוני".
 
כעת לכיוון ההפוך, אם p מספר ראשוני אזי <math>\ p</math> מחלק את <math>\ 1+!(p-1)</math>.
ע"מ להוכיח טענה זו נסתמך על מספר משפטים בסיסיים מ[[חשבון מודולרי]].
<math>\ p</math> ראשוני, לכן לכל מספר <math>a \neq 0</math> קיים [[הופכי כפלי מודולרי|הופכי]] יחיד <math>\ b</math> מודולו <math>\ p</math> כך ש <math>\ a \cdot b \equiv 1\mod{p}</math> (ההפכי הנ"ל על-פי [[משפט אוילר]] הוא <math>\ a^{p-2}</math>). נתבונן במשוואה <math>\ a \equiv a^{-1}\mod{p}</math> נפשט ונקבל <math>\ a^2 \equiv 1\mod{p}</math> ולכן <math>\ a^2-1 \equiv 0\mod{p}</math> ואז <math>\ a \equiv 1\mod{p}</math> או <math>\ a \equiv -1 \equiv p-1 \mod{p}</math> לכן במכפלה של <math>\ 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot (p-2)</math> לכל איבר מופיע גם ההפכי (היחיד) שלו במכפלה. ולכן, בגלל [[קומוטטיביות]] הכפל, <math>\ 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (p-2) \equiv 1\mod{p}</math> ולכן <math>\ (p-1)! \equiv p-1 \equiv -1 \mod{p}</math> ולכן <math>\ (p-1)! +1 \equiv 0 \mod{p}</math> ולכן <math>\ p</math> מחלק את <math>\ (p-1)! +1</math>.
 
[[קטגוריה:משפטים מתמטיים]]
משתמש אלמוני