ויקיפדיה

SilvonenBot

הצטרף ב־29 בפברואר 2008
עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מ שוחזר מעריכה של 87.70.46.24 (שיחה) לעריכה האחרונה של דורית
שורה 1:
{{bot|Silvonen|site=fi}}
ב[[תורת המספרים]] ויישומיה ה[[מתמטיקה|מתמטיים]], '''שדה מספרים''' הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], המהווה [[הרחבת שדות]] מ[[ממד (אלגברה)|ממד]] סופי של [[שדה המספרים הרציונליים]]. כל האברים של שדה מספרים הם [[מספר אלגברי|מספרים אלגבריים]], וגם להיפך: השדה הנוצר על ידי מספר סופי של מספרים אלגבריים הוא שדה מספרים. שדות אלה מהווים אחת משתי המחלקות של [[שדה גלובלי|שדות גלובליים]].
<div style="direction: ltr;">
See my [[:en:User:SilvonenBot|English page]] for further information.
</div>
 
[[en:User:SilvonenBot]]
[[תורת המספרים האלגברית]] עוסקת, במידה רבה, בהכללת תכונות של מספרים שלמים למספרים אלגבריים כלליים. מנקודת מבט זו, עניינה של תורת המספרים האלגברית הוא הכללת הידוע על שדה המספרים הרציונליים, לשדות מספרים מסובכים יותר. פעמים רבות מופעים כל שדות המספרים כרוכים יחד, בלי שניתן להבדיל באופן מהותי את המספרים הרציונליים משאר המספרים האלגבריים (לדוגמה, המבנה של [[סריג (תורת החבורות)|סריגים]] אריתמטיים ב[[חבורת לי|חבורות לי]]), ובפעמים אחרות משפטים על מספרים רציונליים נכונים באותה מידה ומאותן סיבות בכל שדה מספרים.
[[ab:Участник:SilvonenBot]]
 
[[af:Gebruiker:SilvonenBot]]
== דוגמאות ==
[[ak:User:SilvonenBot]]
 
[[am:አባል:SilvonenBot]]
לאחר [[שדה המספרים הרציונליים]] <math>\ \mathbb{Q}</math> עצמו, שדות המספרים הקטנים ביותר הם השדות הריבועיים <math>\ \mathbb{Q}[\sqrt{d}]</math>, שממדם מעל <math>\ \mathbb{Q}</math> הוא 2. ה[[שדה ציקלוטומי|שדות הציקלוטומיים]], הנוצרים על ידי סיפוח של [[שורש יחידה|שורשי יחידה]] מסדר נתון, מהווים מחלקה חשובה אחרת של דוגמאות.
[[ang:User:SilvonenBot]]
 
[[ar:مستخدم:SilvonenBot]]
== חוג השלמים ==
[[arz:مستخدم:SilvonenBot]]
 
[[as:সদস্য:SilvonenBot]]
אוסף ה[[שלם אלגברי|שלמים האלגבריים]] בשדה מספרים K מהווה תת-חוג <math>\ {\mathcal O}_K</math>, שיחסו ל-K דומה לזה של [[חוג המספרים השלמים]] <math>\ \mathbb{Z}</math> לשדה המספרים הרציונליים <math>\ \mathbb{Q}</math> (ואמנם <math>\ (\mathcal O)_{\mathbb{Q}} = \mathbb{Z}</math>). חוג השלמים הוא [[חוג דדקינד]], ש[[שדה שברים|שדה השברים]] שלו הוא השדה K. ה[[אידאל ראשוני|אידאלים הראשוניים]] (ה[[טריוויאלי (מתמטיקה)|לא טריוויאליים]]) של חוג השלמים ממלאים את התפקיד של ה[[מספר ראשוני|מספרים הראשוניים]] בין המספרים השלמים.
[[ay:Usuario:SilvonenBot]]
 
[[az:İstifadəçi:SilvonenBot]]
ה[[שדה מקומי|שדות המקומיים]] המכילים את K מוגדרים בעזרת [[הערכה דיסקרטית|הערכות דיסקרטיות]], הנבנות אחת-לאחת מתוך האידאלים הראשוניים של חוג השלמים.
[[ba:Ҡатнашыусы:SilvonenBot]]
 
[[bcl:Paragamit:SilvonenBot]]
== ההערכות הארכימדיות ==
[[be:Удзельнік:SilvonenBot]]
 
[[be-x-old:Удзельнік:SilvonenBot]]
לשדה מספרים K יש מספר סופי, <math>\ r_1</math>, של שיכונים ב[[שדה המספרים הממשיים]], ועוד מספר סופי <math>\ 2r_2</math> של שיכונים שאינם ממשיים ב[[שדה המספרים המרוכבים]]. האחרונים מסודרים בזוגות [[הצמוד המרוכב|צמודים]], ומספר השיכונים הכולל מקיים <math>\ r_1+2r_2 = d</math>, כאשר d הוא הממד של K מעל הרציונליים. ביחד, שיכונים אלה מגדירים את <math>\ r_1+r_2</math> הערכים-המוחלטים הארכימדיים של השדה. השיכונים הממשיים מגדירים את <math>\ r_1</math> הדרכים ל[[שדה סדור|סדר]] את השדה.
[[bg:Потребител:SilvonenBot]]
 
[[bi:User:SilvonenBot]]
אם <math>\ \alpha</math> יוצר של השדה מעל <math>\ \mathbb{Q}</math>, אז <math>\ r_1</math> הוא מספר ה[[שורש של פולינום|שורשים]] הממשיים ב[[פולינום מינימלי|פולינום המינימלי]] של <math>\ \alpha</math>, בעוד ש- <math>\ 2r_2</math> הוא מספר השורשים המרוכבים, שאינם ממשיים. בשפה של ה[[מכפלה טנזורית|מכפלה הטנזורית]], השיכונים הארכימדיים מתבטאים בכך ש- <math>\ K \otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{R} \cong \mathbb{R}^{r_1}\times \mathbb{C}^{r_2}</math>.
[[bm:Utilisateur:SilvonenBot]]
 
[[bo:User:SilvonenBot]]
== הדיסקרימיננטה ==
[[bpy:আতাকুরা:SilvonenBot]]
 
[[bs:Korisnik:SilvonenBot]]
[[קובץ:JO Atlanta 1996 - Stade.jpg|ממוזער|שמאל|200px]]
[[ca:Usuari:SilvonenBot]]
הדיסקרימיננטה היא כלי מרכזי ב[[תורת המספרים האלגברית]]. בנוסף לדיסקרימיננטה הרגילה של הרחבת שדות, L/K, שהיא איבר מוגדר היטב של חבורת המנה <math>\ K^{\times}/(K^{\times})^2</math>, בהרחבה של שדות מספרים אפשר לבחור בסיס של L/K, שכל איבריו יבואו מחוג השלמים <math>\ {\mathcal O}_L</math> של L (בסיס כזה נקרא '''בסיס שלם'''). לפעמים (למשל, כאשר חוג השלמים <math>\ {\mathcal O}_K</math> של K הוא [[תחום ראשי|ראשי]]), <math>\ {\mathcal O}_L</math> מהווה [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] [[מודול חופשי|חופשי]], ואז אפשר לבחור בסיס של L/K שיהיה גם בסיס של <math>\ {\mathcal O}_L/{\mathcal O}_K</math>. במקרים אלה, הדיסקרימיננטה היא איבר מוגדר היטב של חוג השלמים, מודולו הריבועים של חבורת האיברים ההפיכים בחוג (שהיא [[חבורה אבלית נוצרת סופית|נוצרת סופית]], על-פי [[משפט היחידות של דיריכלה]], כלומר, קטנה באופן יחסי). בפרט, הדיסקרימיננטה של שדה מעל <math>\ \mathbb{Q}</math> היא מספר שלם מוגדר היטב, משום שהאיברים ההפיכים היחידים ב- <math>\ \mathbb{Z}</math> הם <math>\ \pm 1</math>.
[[cbk-zam:Usuario:SilvonenBot]]
במקרה הכללי <math>\ {\mathcal O}_L</math> אינו בהכרח חופשי, ואז הדיסקרימיננטה של L/K מוגדרת כאידאל הנוצר על ידי כל הדיסקרימיננטות של הבסיסים השלמים.
[[cdo:User:SilvonenBot]]
 
[[ch:Muna'sesetbi:SilvonenBot]]
[[הרמיט]] הוכיח שמספר שדות המספרים בעלי דיסקרימיננטה נתונה (מעל <math>\ \mathbb{Q}</math>) הוא סופי, וקיימות טבלאות מפורטות של שדות מספרים בעלי דיסקרימיננטה קטנה.
[[crh:Qullanıcı:SilvonenBot]]
 
[[cs:Wikipedista:SilvonenBot]]
אחד השימושים העיקריים של הדיסקרימיננטה היא בהגבלת ההתנהגות של אידאלים ראשוניים תחת הרחבה: ראשוני (של K) הוא [[ראשוני מסועף|מסועף]] בהרחבה L/K, אם ורק אם הוא מחלק את הדיסקרימיננטה.
[[csb:Brëkòwnik:SilvonenBot]]
 
[[cu:По́льꙃєватєл҄ь:SilvonenBot]]
 
[[cy:Defnyddiwr:SilvonenBot]]
ב[[תורת המספרים]], '''קירוב דיופנטי''' של [[מספר ממשי]] נתון הוא [[מספר רציונלי]] קרוב אל המספר המבוקש. ה[[אנליזה דיופנטית|אנליזה הדיופנטית]] עוסקת, בין השאר, בקיומם של קירובים דיופנטיים, בטיב הקירוב האפשרי, ובהכללות של הבעיה היסודית.
[[da:Bruger:SilvonenBot]]
 
[[de:Benutzer:SilvonenBot]]
== קירוב דיופנטי של מספר ממשי ==
[[diq:User:SilvonenBot]]
 
[[dsb:Wužywaŕ:SilvonenBot]]
מספר רציונלי <math>\ \frac{n}{m}</math> מקרב היטב את המספר הממשי <math>\ \alpha</math>, ככל שהמרחק <math>\ |\alpha - \frac{n}{m}|</math>, קטן יותר בהשוואה לגודל ה[[מכנה]] m. המדד הבסיסי בעניין זה הוא סדר הקירוב: אומרים ש-<math>\ \alpha</math> '''ניתן לקירוב מסדר r''', אם קיימים קבוע חיובי C ואינסוף זוגות <math>\ \frac{n}{m}</math>, כך ש- <math>\ |\alpha - \frac{n}{m}| < \frac{1}{C m^r}</math>.
[[ee:User:SilvonenBot]]
 
[[el:Χρήστης:SilvonenBot]]
קל לראות שכל מספר ממשי <math>\ \alpha</math> ניתן לקירוב מסדר ראשון: לכל m, המספר <math>\ m\alpha</math> נמצא במרחק שאינו עולה על <math>\ 1/2</math> מן המספר השלם הקרוב ביותר, ולכן קיים n כך ש- <math>\ |\alpha - \frac{n}{m}|\leq \frac{1}{2m}</math>.
[[eo:Vikipediisto:SilvonenBot]]
{{ניווט|רוחב=480px|יישור=שמאל|כותרת=כל מספר ניתן לקירוב מסדר שני|הסתרה=כן|מוסתר=כן|תוכן=
[[es:Usuario:SilvonenBot]]
יהיו <math>\ \alpha</math> ממשי שאינו רציונלי, ו-m מספר שלם. לכל k=0,...,m אפשר לכתוב את המכפלה <math>\ k \alpha</math> בצורה <math>\ k \alpha = n_k + x_k</math>, כאשר <math>\ n_k</math> שלם, ו- <math>\ 0 \leq x_k <1</math>. את הקטע (0,1) אפשר לחלק באופן טבעי ל-m תת-קטעים באורך <math>\ 1/m</math>. לפי עקרון שובך היונים, מוכרחים שניים מבין m+1 המספרים <math>\ x_0,\dots,x_m</math> להמצא באותו תת-קטע, ואז המרחק ביניהם מקיים <math>\ |(j-i)\alpha - (n_j-n_i)| = |x_j - x_i| < \frac{1}{m}</math>, כאשר <math>\ i<j\leq m</math>. כעת <math>\ |\alpha - \frac{n_j-n_i}{j-i}| < \frac{1}{m(j-i)} < \frac{1}{m^2}</math>.
[[et:Kasutaja:SilvonenBot]]
}}
[[eu:Lankide:SilvonenBot]]
מ[[עקרון שובך היונים|עקרון שובך היונים של דיריכלה]] אפשר להסיק שכל מספר ממשי ניתן לקירוב מסדר שני (ראו הוכחה במסגרת משמאל).
[[ext:User:SilvonenBot]]
ב- 1891 הוכיח A. Hurwitz שכל מספר ממשי שאינו רציונלי ניתן לקירוב מסדר שני, עם הקבוע <math>\ C = \sqrt{5}</math>. תוצאה זו היא אופטימלית בשני המובנים: יש מספרים שאינם ניתן לקירוב מסדר <math>\ 2+\epsilon</math>, לכל <math>\ \epsilon > 0</math> (ראו משפט Roth להלן); כמו-כן, [[יחס הזהב]] <math>\ \gamma = \frac{1+\sqrt{5}}{2}</math> ניתן לקירוב מסדר שני עבור <math>\ C = \sqrt{5}</math>, אבל לא עבור כל קבוע גדול יותר. אם מוציאים מכלל החישוב את המספרים השקולים ליחס הזהב תחת פעולת
[[fa:کاربر:SilvonenBot]]
<math>\ \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})</math>, כלומר, את המספרים <math>\ \frac{a\gamma+b}{c\gamma+d}</math> כאשר <math>\ a,b,c,d</math> שלמים ו- <math>\ ad-bc = \pm 1</math>, אז אפשר לקרב מסדר שני כל מספר אי-רציונלי נותר, עם <math>\ C = \sqrt{8}</math>. באופן כללי יותר, לכל <math>\ C < 3</math> יש רק מספר סופי של [[פעולת חבורה|מסלולי]]-<math>\ \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})</math>, שמלבדם כל מספר אי-רציונלי ניתן לקרוב מסדר שני, עם הקבוע C. גם כאן, 3 הוא ערך אופטימלי: יש אינסוף מסלולים של מספרים שאינם ניתנים לקירוב מסדר שני עם C=3.
[[fi:Käyttäjä:SilvonenBot]]
 
[[fiu-vro:Pruukja:SilvonenBot]]
ב- 1955 שיפר K.F. Roth תוצאות קודמות של Thue, Siegel ו-Dyson, והראה ש[[מספר אלגברי]] אינו ניתן לקירוב מסדר גבוה מ-2. תוצאה מעין זו מאפשרת להוכיח בקלות את ה[[מספר טרנסצנדנטי|טרנסצנדנטיות]] של [[e (קבוע מתמטי)|e]] ושל [[קבוע מתמטי|קבועים]] מוכרים אחרים כדוגמת [[מספר ליוביל]] (אם כי הטרנסצנדטיות של <math>\ \pi</math> דורשת מאמץ רב יותר).
[[fo:Brúkari:SilvonenBot]]
 
[[fr:Utilisateur:SilvonenBot]]
== קירוב דיופנטי סימולטני ==
[[frp:Utilisator:SilvonenBot]]
 
[[fur:Utent:SilvonenBot]]
לפי משפט של [[הרמן מינקובסקי|מינקובסקי]], שעסק רבות ב"גאומטריה של מספרים", אפשר לקרב זוג [[מספר אי-רציונלי|מספרים אי-רציונליים]] באופן סימולטני: לכל <math>\ \alpha,\beta</math> יש אינסוף שלשות של מספרים שלמים <math>\ n, n', m</math> כך ש- <math>\ |\alpha - \frac{n}{m}| < \frac{1}{m^{3/2}}</math> ו- <math>\ |\beta - \frac{n'}{m}| < \frac{1}{m^{3/2}}</math>.
[[ga:Úsáideoir:SilvonenBot]]
 
[[gan:User:SilvonenBot]]
== התפלגות של הערך השבור ==
[[got:User:SilvonenBot]]
 
[[gu:સભ્ય:SilvonenBot]]
לכל מספר אי-רציונלי <math>\ \alpha</math>, הסדרה <math>\ (\alpha), (2\alpha), (3\alpha), \cdots</math> היא בעלת [[התפלגות אחידה]] בקטע היחידה, כאשר <math>\ (x) = x-[x]</math> מציין את החלק השבור של x (ו- <math>\ [x]</math> הוא [[החלק השלם]]). [[קרונקר]] הוכיח שאם <math>\ 1,\alpha,\beta</math> [[תלות ליניארית|בלתי תלויים ליניארית]] מעל [[שדה המספרים הרציונליים]], אז סדרת הזוגות <math>\ ((n\alpha),(n\beta))</math> [[קבוצה צפופה|צפופה]] בריבוע היחידה. תוצאות מעין אלו מבשרות את ראשיתה של [[התורה הארגודית]].
[[gv:Ymmydeyr:SilvonenBot]]
 
[[haw:Mea hoʻohana:SilvonenBot]]
[[קטגוריה:תורת המספרים]]
[[hi:सदस्य:SilvonenBot]]
 
[[hif:User:SilvonenBot]]
== מקורות ==
[[hr:Suradnik:SilvonenBot]]
 
[[hsb:Wužiwar:SilvonenBot]]
* Diophantine Approximations, Ivan Niven, 1963.
[[hu:Szerkesztő:SilvonenBot]]
 
[[ia:Usator:SilvonenBot]]
[[en:Diophantine approximation]]
[[id:Pengguna:SilvonenBot]]
[[de:Diophantische Approximation]]
[[ie:User:SilvonenBot]]
[[fr:Approximation diophantienne]]
[[ilo:User:SilvonenBot]]
[[it:Approssimazione diofantea]]
[[io:Uzanto:SilvonenBot]]
[[pl:Aproksymacja diofantyczna]]
[[is:Notandi:SilvonenBot]]
[[pt:Aproximação diofantina]]
[[it:Utente:SilvonenBot]]
[[sl:Teorija diofantskih približkov]]
[[zhiu:丟番圖逼近User:SilvonenBot]]
[[ja:利用者:SilvonenBot]]
[[jbo:User:SilvonenBot]]
[[ka:მომხმარებელი:SilvonenBot]]
[[kaa:Paydalanıwshı:SilvonenBot]]
[[kab:Amseqdac:SilvonenBot]]
[[kl:Bruger:SilvonenBot]]
[[km:អ្នកប្រើប្រាស់:SilvonenBot]]
[[kn:ಸದಸ್ಯ:SilvonenBot]]
[[ko:사용자:SilvonenBot]]
[[ku:Bikarhêner:SilvonenBot]]
[[kv:Участник:SilvonenBot]]
[[kw:User:SilvonenBot]]
[[ky:User:SilvonenBot]]
[[la:Usor:SilvonenBot]]
[[lad:Usuario:SilvonenBot]]
[[lmo:Utente:SilvonenBot]]
[[ln:Utilisateur:SilvonenBot]]
[[lt:Naudotojas:SilvonenBot]]
[[lv:Lietotājs:SilvonenBot]]
[[map-bms:Panganggo:SilvonenBot]]
[[mdf:Тиись:SilvonenBot]]
[[mg:Mpikambana:SilvonenBot]]
[[mk:Корисник:SilvonenBot]]
[[mn:Хэрэглэгч:SilvonenBot]]
[[ms:Pengguna:SilvonenBot]]
[[myv:Теиця:SilvonenBot]]
[[na:User:SilvonenBot]]
[[nah:Tlatequitiltilīlli:SilvonenBot]]
[[nds:Bruker:SilvonenBot]]
[[new:छ्येलेमि:SilvonenBot]]
[[nl:Gebruiker:SilvonenBot]]
[[nn:Brukar:SilvonenBot]]
[[no:Bruker:SilvonenBot]]
[[nov:User:SilvonenBot]]
[[nrm:User:SilvonenBot]]
[[nv:Choinish'įįhí:SilvonenBot]]
[[om:User:SilvonenBot]]
[[os:Архайæг:SilvonenBot]]
[[pa:ਮੈਂਬਰ:SilvonenBot]]
[[pap:User:SilvonenBot]]
[[pdc:Benutzer:SilvonenBot]]
[[pl:Wikipedysta:SilvonenBot]]
[[ps:کارونکی:SilvonenBot]]
[[pt:Usuário:SilvonenBot]]
[[rm:User:SilvonenBot]]
[[rmy:Jeno:SilvonenBot]]
[[ro:Utilizator:SilvonenBot]]
[[roa-rup:User:SilvonenBot]]
[[roa-tara:User:SilvonenBot]]
[[ru:Участник:SilvonenBot]]
[[sa:योजकः:SilvonenBot]]
[[sah:Кыттааччы:SilvonenBot]]
[[sco:User:SilvonenBot]]
[[sd:يوزر:SilvonenBot]]
[[se:User:SilvonenBot]]
[[si:පරිශීලක:SilvonenBot]]
[[simple:User:SilvonenBot]]
[[sk:Redaktor:SilvonenBot]]
[[sl:Uporabnik:SilvonenBot]]
[[sm:User:SilvonenBot]]
[[so:User:SilvonenBot]]
[[sq:Përdoruesi:SilvonenBot]]
[[sr:Корисник:SilvonenBot]]
[[ss:User:SilvonenBot]]
[[su:Pamaké:SilvonenBot]]
[[sv:Användare:SilvonenBot]]
[[sw:Mtumiaji:SilvonenBot]]
[[tet:Uza-na'in:SilvonenBot]]
[[tg:Корбар:SilvonenBot]]
[[th:ผู้ใช้:SilvonenBot]]
[[ti:User:SilvonenBot]]
[[tn:User:SilvonenBot]]
[[to:User:SilvonenBot]]
[[tpi:User:SilvonenBot]]
[[tr:Kullanıcı:SilvonenBot]]
[[ts:User:SilvonenBot]]
[[udm:Викиавтор:SilvonenBot]]
[[ug:User:SilvonenBot]]
[[uk:Користувач:SilvonenBot]]
[[uz:Foydalanuvchi:SilvonenBot]]
[[vi:Thành viên:SilvonenBot]]
[[wa:Uzeu:SilvonenBot]]
[[wo:Jëfandikukat:SilvonenBot]]
[[wuu:User:SilvonenBot]]
[[xal:Орлцач:SilvonenBot]]
[[yi:באַניצער:SilvonenBot]]
[[yo:Oníṣe:SilvonenBot]]
[[zh:User:SilvonenBot]]
[[zu:User:SilvonenBot]]
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/משתמש:SilvonenBot"