חבורת סימטריות מרחבית – הבדלי גרסאות

על-פי ההגדרה, חבורת סימטריות מרחבית [[פעולת חבורה על קבוצה|פועלת בנאמנות]] על סריג נתון, אך אין היא שווה בהכרח ל[[חבורת סימטריות|חבורת הסימטריות]] המלאה של אותו סריג (הכוללת את כל הפעולות האפשריות). לדוגמא, במקרה החד-ממדי, חבורת הסימטריות המרחבית המלאה של הסריג <math>\ \mathbb{Z}</math> כוללת את השיקוף ואת כל ההזזות במספר שלם. עם זאת, גם החבורה המורכבת משיקוף ומהזזות במספרים זוגיים, או אפילו זו המורכבת מהזזות זוגיות בלבד, נקראת חבורת סימטריות מרחבית.

 

 

חבורת הסימטריות של הסריג מורכבת מסיבובים והזזות, ומ[[הרכבת פונקציות|הרכבות]] של אלו. הסיבובים שומרים על נקודת האפס של הסריג במקומה. סימטריה של סיבוב אפשר לתאר כפעולת [[כפל מטריצות|כפל]] (משמאל) ב[[מטריצה אורתוגונלית]]. החבורה של כל הסימטריות השומרות על נקודת הראשית היא ה[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] <math>\ S_0(\Lambda) = O_n(\mathbb{R}) \cap L\cdot \operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})\cdot L^{-1}</math>, שהוא חבורה סופית (לפרטים ראו [[חבורת סימטריות נקודתית#חבורות סימטריה נקודתיות והסריגים שלהן|חבורת סימטריות נקודתית]]). באותו אופן, העתקה אפינית <math>\ x \mapsto v_0 + A x</math> היא סימטריה של הסריג, בדיוק כאשר <math>\ v_0 \in \Lambda</math> ו- <math>\ A \in S_0(\Lambda)</math>. ההעתקות הטהורות <math>\ x \mapsto x+v_0</math> מהוות [[תת-חבורה נורמלית]] של חבורת הסימטריות המרחבית (המלאה) של הסריג, ו[[חבורת מנה|חבורת המנה]] היא חבורת הסימטריות הנקודתית (המלאה). את ה[[מכפלה ישרה למחצה|מכפלה הישרה למחצה]] המתקבלת, אפשר להציג באופן מפורש כחבורה של מטריצות: <math>\ S(\Lambda) = \left(\begin{array}{cc}{S_0(\Lambda)}& {\Lambda} \\ {0}&{1} \end{array}\right)</math>.