חבורת סימטריות מרחבית – הבדלי גרסאות

שתי חבורות סימטריה מרחביות הן בעלות אותו "טיפוס קריסטלוגרפי", אם הן צמודות תחת העתקה אפינית שומרת כיוון של המרחב (לאלו יש הצורה <math>\,x\mapsto b+Ax</math> עם [[דטרמיננטה]] <math>\ \det(A)=1</math>). באופן כללי יותר, לשתי חבורות יש אותו "טיפוס אפיני", אם הן תמודותצמודות תחת העתקה אפינית כלשהי. ההבדלכל הואטיפוס שאםאפיני מורכב מטיפוס קריסטלוגרפי אחד או שניים; אם חבורה אחת מתקבלת מאחרת על-ידי שיקוף של המרחב, אז הן בעלות אותו טיפוס אפיני, אבל לא בהכרח אותו טיפוס קריסטלוגרפי.

בממדים 1 ו-2, אין הבדל בין "טיפוס אפיני" ו"טיפוס קריסלוגרפי", משום שתמונת הראי של סיבוב היא סיבוב בכיוון ההפוך. לעומת זאת, בממד 3, תמונת הראי של החלקתסיבוב בורג ימניתימני היא החלקתסיבוב בורג שמאליתשמאלי (ואילו הפעולה ההפוכה להחלקתלסיבוב בורג ימניתימני היא החלקתסיבוב של אותו בורג ימניתימני, עם העתקה בכיוון ההפוך).

'''משפט ביברבך''' קובע שבכל ממד, אם שתי חבורות מרחביות הן איזומורפיות זו לזו, אז יש להן אותו טיפוס אפיני. משום כך, לעתים משתמשים במושג "חבורת סימטריות מרחבית" גם כדי לתאר את טיפוס החבורה, בלי הצגה מפורשת כחבורה אפינית. כשמדובר בקשרים בין חבורה לתת-חבורות, יש להבחין בין הטיפוס לחבורה עצמה; גם [[חבורת מנה|חבורת המנה]] של זוג כזה תלויה בדרך כלל בתת-החבורה עצמה, ולא רק בטיפוס שלה.