משפט פרמה (לנקודות קיצון) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הגדרה |
הוכחה |
||
שורה 1:
ב[[חשבון אינפיניטסימלי]], '''משפט פרמה''' קובע כי ב[[נקודת קיצון]] ערך ה[[נגזרת]] של [[פונקציה]], אם הוא
==הגדרה פורמלית==
תהא f פונקציה המוגדרת בקטע <math>\left(a,b\right)</math> ותהי <math>x_0\isin (a,b)</math> נקודה בה הפונקציה
==הוכחה==
נוכיח במקרה שבו <math>x_0</math> היא נקודת מקסימום. ההוכחה למקרה השני דומה.
מאחר ש<math>x_0</math> נקודת מקסימום, הרי שלכל <math>x\isin (a,b)</math> מתקיים <math>f(x)\le f(x_0)</math>. מכאן כי עבור כל <math>\Delta x</math> שעבורו <math>f(x+\Delta x)\isin (a,b)</math> מתקיים <math>f(x+\Delta x)\le f(x)</math>.
כעת נסתכל בנגזרות מימין ומשמאל של הפונקציה בנקודה <math>x_0</math>:
<math>f'_+(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^+}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\le 0</math>
זאת כי המונה תמיד שלילי או אפס, כפי שראינו, והמכנה תמיד חיובי, כי השאיפה לאפס היא מצד ימין.
לעומת זאת:
<math>f'_-(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^-}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\ge 0</math>
כי הפעם המכנה שלילי תמיד.
מאחר שהפונקציה גזירה בנקודה <math>x_0</math> הרי שמתקיים <math>f'_-\left(x_0\right)=f'_+(x_0)</math> ולכן בהכרח <math>f'\left(x_0\right)=0</math>.
| |||