סכום של שני ריבועים – הבדלי גרסאות

יהי p מספר ראשוני השקול ל- 1 מודולו 4. ידוע ש- 1- הוא [[שארית ריבועית]] מודולו p, כלומר, קיים x כך ש- <math>\ x^2+1\equiv 0 \pmod{p}</math>. אם בוחרים x קטן (בערכו המוחלט) ככל האפשר, מתקבלת הצגה <math>\ x^2+1=mp</math> כאשר <math>\ m<p/4</math>. נתבונן בהצגה <math>\ x^2+y^2=mp</math> שבה x,y אינם מתחלקים ב- p, כאשר <math>\ 1\leq m</math> הוא הקטן ביותר האפשרי, ונניח (ב[[הוכחה בדרך השלילה|שלילה]]) ש- m>1. בחילוק עם שארית אפשר לכתוב <math>\ x=mc+x_1,\, y=md+y_1</math>, כאשר <math>\ |x_1|,|y_1|\leq m/2</math>. כך יוצא ש- <math>\ x_1^2+y_1^2 \equiv 0 \pmod{m}</math>, אבל <math>\ x_1^2+y_1^2<m^2</math>. מכאן ש- <math>\ x_1^2+y_1^2=mm_1</math> עבור <math>\ 1\leq m_1<m</math>.