אקסיומות ההפרדה – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
כתיבה מחדש
שורה 1:
'''אקסיומות ההפרדה''' (נקראות גם "'''תכונות ההפרדה'''") הן תכונות נוספותשל ש[[מרחב טופולוגי]], יכולהקשורות לקייםביכולת ותלויותשל בטופולוגיההטופולוגיה שמוגדרתלהפריד מעליובין נקודות או קבוצות שונות במרחב. תכונותישנן אלהכתריסר מאפיינותאקסיומות אתשונות, המידהשהחשובה בהשבהן הטופולוגיההיא מסוגלת[[מרחב להבחיןהאוסדורף|תכונת (להפריד)האוסדורף]], ביןהקרויה נקודותגם שונותתכונת במרחב<math>\ T_2</math>. לכמה מתכונות ההפרדה המרכזיות משתמשים בסימון <math>\ T_n</math> עבור ערכים שונים של <math>\ n</math>. מקורה של האות T בהקשר זה הוא במלה ה[[גרמנית]] Trennung, שפירושה 'הפרדה'.
 
[[מרחב מטרי|מרחבים מטריים]] מקיימים את כל אקסיומות ההפרדה, ולכן אפשר לראות באקסיומות ההפרדה מעין היררכיה של מרחבים טופולוגיים, המודדת עד כמה דומה מרחב נתון (מבחינת יכולת ההפרדה שלו) למרחב מטרי.
== רשימת אקסיומות ההפרדה ==
 
המינוח הקשור באקסיומות ההפרדה נודע כמינוח לא אחיד: בספרים שונים השתמשו באותם שמות כדי לתאר תכונות שונות, ולכן כשמצטטים תוצאות בתחום זה, חשוב לברר באיזו הגדרה השמתמש המחבר. נקודת המוצא היא האקסיומה הקרויה <math>\ T_0</math>, שהיא דרישה פרימיטיבית באופן יחסי (כלומר, רוב המרחבים הטופולוגיים המופיעים בספרות, מקיימים אותה). בויקיפדיה אנו מאמצים את הגישה המודרנית יותר, לפיה התכונות <math>\ T_3, T_4</math> ונגזרותיהן מכילות את ההנחה <math>\ T_0</math> כחלק מההגדרה, בעוד שמרחבים רגולריים ומרחבים נורמליים, על הוריאציות של תכונות אלה (ראו בהמשך), אינם נדרשים לקיים את התכונה הזו. בעבר, ובפרט בספר החשוב "Counterexamples in Topology" (שכתבו Steen ו- Seebach ב- [[1970]]), היה מקובל היפוך של המונחים.
זוהי רשימה של אקסיומות (תכונות) ההפרדה. הרשימה כוללת תכונות ואת השם שניתן למרחב טופולוגי המקיים כל תכונה. נעיר שנהוגים מספר הגדרות וסימונים הדומים מאוד זה לזה. ההבדל העיקרי בין המערכות השונות הוא ההנחות/דרישות לגבי קיום אקסיומות T0 ו T1 בהגדרה.
 
== אקסיומות ההפרדה ==
=== מרחבים מפרידי נקודות ===
 
ישנן שתי תכונות בסיסיות שמקובל למנות בין אקסיומות ההפרדה, למרות שבעצם אינן כאלה. הראשונה היא <math>\ T_0</math>:
* מרחב טופולוגי יקרא '''T<sub>0</sub>''' אם לכל <math>x \ne y</math> קיימת [[קבוצה פתוחה]] V כך ש x ב V ו y לא או ש y ב V ו x לא.
* מרחב טופולוגי מקיים את התכונה <math>\ T_0</math>, אם לכל שתי נקודות שונות, קיימת קבוצה פתוחה המכילה אחת מהן אבל לא את השניה. במלים אחרות, לא קיימות שתי נקודות שיש להן בדיוק אותן [[סביבה (טופולוגיה)|סביבות]]. במרחב שאינו מקיים דרישה זו, ישנם זוגות של נקודות שאי אפשר להבחין ביניהן במשקפי הטופולוגיה.
* מרחב טופולוגי יקרא '''T<sub>1</sub>''' אם לכל אם לכל <math>x \ne y</math> קיימת [[קבוצה פתוחה]] V כך ש x ב V אך y איננה ב V.
* מרחב טופולוגי יקרא '''T<sub>2</sub>''' אם לכל <math>x \ne y</math> קיימות שתי קבוצות פתוחות וזרות V ו W כך ש x נמצאת ב V ו y ב W. אנו אומרים שמרחב טופולוגי כזה מפריד בין נקודות.
* מרחב טופולוגי המקיים T<sub>2</sub> נקרא [[מרחב האוסדורף]].
 
התכונה <math>\ T_1</math> היא תכונה מעט חזקה יותר, מעין גירסה סימטרית של התכונה הקודמת:
=== מרחבים מפרידי קבוצות ונקודות ===
* מרחב טופולוגי מקיים את התכונה <math>\ T_1</math>, אם לכל שתי נקודות שונות, קיימת קבוצה פתוחה המכילה את זו ולא את זו, וכן להיפך. תכונה זו שקולה לכך שכל נקודה מהווה קבוצה סגורה.
כל מרחב <math>\ T_1</math> הוא בפרט <math>\ T_0</math>.
 
=== הפרדה בין נקודות ===
* מרחב טופולוגי יקרא '''T<sub>3</sub>''' אם לכל קבוצה סגורה F ונקודה <math>\ x \notin F</math> קיימות קבוצות פתוחות וזרות V ו W כך ש <math>\ x \in V \ , \ F \subset W \ , \ V \cap W = \emptyset</math>. אנו אומרים שמרחב טופולוגי כזה מפריד נקודה וקבוצה סגורה.
* מרחב טופולוגי יקרא '''T<sub>3.5</sub>''' אם הוא [[מרחב רגולרי לחלוטין]]. מרחב טופולוגי כזה מפריד בין קבוצה סגורה לנקודה באמצעות פונקציות רציפות.
* מרחב טופולוגי יקרא '''T<sub>4</sub>''' אם לכל <math>\ F_1 \cap F_2</math> קבוצות סגורות וזרות, קיימות קבוצות פתוחות וזרות V ו W כך ש <math>\ F_1 \subset V \ , \ F_2 \subset W \ , \ V \cap W = \emptyset</math>. אנו אומרים שמרחב טופולוגי כזה מפריד בין קבוצות סגורות.
* מרחב טופולוגי המקיים T<sub>1</sub> ו T<sub>3</sub> נקרא [[מרחב רגולרי]].
* מרחב טופולוגי המקיים T<sub>1</sub> ו T<sub>4</sub> נקרא [[מרחב נורמלי]].
 
כדי להציג את אקסיומות ההפרדה השונות, נפתח בכמה דוגמאות.
=== מרחבים נורמליים חזקים ===
* מרחב האוסדורף שהוזכר קודם לכן, הוא מרחב טופולוגי, המקיים את הדרישה הבאה:
: לכל שתי נקודות <math>\ p \neq q</math>, קיימות קבוצות פתוחות ו'''זרות''', שאחת מהן מכילה את p, והשניה את q.
לתכונה זו קוראים 'הפרדה בין נקודות על-ידי קבוצות פתוחות', כאשר ה'הפרדה' פירושה שאפשר מתוך התבוננות בקבוצות הפתוחות להווכח בכך שהנקודות שונות זו מזו (שהרי הקבוצות זרות).
 
אפשר לבחון תכונת הפרדה חזקה יותר, באמצעות '''סביבות''' '''סגורות''':
* [[מרחב נורמלי תורשתי]] או מרחב '''T<sub>5</sub>''' :
* [[מרחב אוריסון]], או '''מרחב <math>\ T_{2\frac{1}{2}}</math>''', הוא מרחב טופולוגי, המקיים את הדרישה כי לכל שתי נקודות <math>\ p \neq q</math>, קיימות סביבות סגורות וזרות, שאחת מהן מכילה את p, והשניה את q.
: זהו מרחב טופולוגי נורמלי שכל תת-מרחב שלו הוא נורמלי ב[[הטופולוגיה המושרית|טופולוגיה המושרית]].
נזכיר ש'''סביבה''' של נקודה היא קבוצה שהנקודה נמצאת בפנים שלה; במלים אחרות, זו קבוצה שמכילה קבוצה פתוחה, המכילה את הנקודה שלנו. ממילא ברור שהפרדה באמצעות סביבות סגורות היא תכונה חזקה יותר מהפרדה באמצעות קבוצות פתוחות.
:מרחב כזה מקיים את התכונה הבאה: לכל שתי קבוצות A ו B מופרדות - כלומר: מקיימות <math>\bar{A} \cap B = A \cap \bar{B} = \emptyset</math> - קיימות שתי קבוצות פתוחות וזרות <math>\ V_A \cap V_B = \emptyset</math> כך ש <math>\ A \subset V_A \ , \ B \subset V_B</math>.
* [[מרחב נורמלי באופן מושלם]] "Perfectly Normal" או מרחב '''T<sub>6</sub>''' :
: זהו מרחב טופולוגי נורמלי שבו כל קבוצה סגורה היא <math>\ G_\delta</math> (או באופן שקול: כל קבוצה פתוחה היא <math>\ F_\sigma</math>).
: מרחב זה מקיים תכונה חשובה מאוד, והיא שניתן להפריד בו כל שתי קבוצות סגורות וזרות באופן מדויק באמצעות פונקציה רציפה (תכונה זו משמשת לעיתים בשביל להגדיר מרחב T<sub>6</sub> חלש). באופן פורמלי: לכל שתי קבוצות A ו B [[קבוצה סגורה|סגורות]] וזרות קיימת פונקציה <math>\ f: X \to \mathbb{R}</math> [[רציפה]] כך ש <math>\ A = f^{-1}(0) \ , \ B = f^{-1}(1) </math>.
: מרחב כזה הוא בפרט נורמלי תורשתי וכן מרחב האוסדורף רגולרי לחלוטין.
 
יש תכונת הפרדה חזקה עוד יותר - באמצעות פונקציות רציפות.
* [[מרחב מטרי]]:
* [[מרחב האוסדורף לחלוטין]] (completely Hausdorff), הוא מרחב טופולוגי X, המקיים את הדרישה
: זהו מרחב שהטופולוגיה שלו מושרית ע"י ה[[מטריקה]]. מרחב כזה הוא בפרט T<sub>6</sub> , בפרט נורמלי ובפרט האוסדורף.
: לכל שתי נקודות <math>\ p \neq q</math>, קיימת פונקציה רציפה <math>\ f : X \rightarrow [0,1]</math>, כך ש- <math>\ f(p)=0</math> ו- <math>\ f(q)=1</math>.
זוהי בוודאי הפרדה חזקה יותר מאשר באמצעות סביבות סגורות, משום שאת הנקודות 0 ו- 1 אפשר להפריד בסביבות סגורות על הישר הממשי, והמקורות של סביבות סגורות במרחב X (תחת פונקציה רציפה) הם סביבות סגורות.
 
אם כן, פגשנו שלוש רמות של הפרדה: הפרדה בקבוצות פתוחות (וזרות), הפרדה בסביבות סגורות (וזרות), והפרדה בפונקציה רציפה. בכל המקרים מדובר היה בהפרדה בין זוג נקודות. בהמשך נראה שיש סוג נוסף של הפרדה: '''הפרדה מדוייקת''' באמצעות פונקציה (רציפה). כאשר מפרידים בין נקודות, או בין קבוצה לנקודה, הפרדה במובן הרביעי היא דרישה חזקה מדי, שרק מרחב בעל [[טופולוגיה דיסקרטית]] יכול לקיים אותה.
== תכונות ==
 
=== הפרדה בין קבוצה סגורה לנקודה ===
=== גרירה ונביעה ===
 
* מרחב שבו אפשר להפריד בין קבוצה סגורה לנקודה (שאינה שייכת, כמובן, לקבוצה) באמצעות קבוצות פתוחות, נקרא [[מרחב רגולרי]]. לא קשה להוכיח שבמקרה כזה, אפשר להפריד בין קבוצה סגורה לנקודה גם באופן החזק יותר של סביבות סגורות.
כל מרחב מטרי הוא בפרט T6. כל מרחב T6 הוא בפרט T5. כל מרחב T5 הוא בבירור נורמלי. כעת, כל מרחב נורמלי הוא גם רגולרי לחלוטין (ההוכחה נעשית באמצעות בניית [[פונקציית אוריסון]]). כל מרחב רגולרי לחלוטין הוא רגולרי. כל מרחב רגולרי הוא האוסדורף ואילו כל מרחב האוסדורף הוא בפרט T1.
 
* מרחב שבו אפשר להפריד קבוצה סגורה ונקודה באמצעות פונקציה רציפה נקרא [[מרחב רגולרי לחלוטין]]. כמקודם, מרחב רגולרי לחלוטין הוא בפרט רגולרי.
אפשר לסכם זאת כך:
: <math>\ \mbox{Metric} \Rightarrow T_6 \Rightarrow T_5 \Rightarrow \mbox{Normal} \Rightarrow T_{3.5} \Rightarrow \mbox{Regular} \Rightarrow T_2 \Rightarrow T_1</math>
 
במרחב טופולוגי כללי, נקודה אינה בהכרח קבוצה סגורה, ולכן היכולת להפריד קבוצות סגורות ונקודות אינה מלמדת אותנו על היכולת להפריד בין נקודות שונות. לעומת זאת, אם מוסיפים את ההנחה <math>\ T_1</math>, מופיע קשר בין התכונות החדשות לתכונות שראינו קודם לכן:
=== אינווריאנטיות טופולוגיות ===
 
* מרחב רגולרי שהוא גם <math>\ T_1</math> נקרא '''מרחב <math>\ T_3</math>'''. כל מרחב כזה מקיים את התכונה <math>\ T_2</math>, ולכן הם נקראים גם 'מרחבי האוסדורף רגולריים'. אפשר לראות שכל מרחב רגולרי <math>\ T_0</math> מקיים את התכונה <math>\ T_1</math>, ולכן הוא מהווה מרחב <math>\ T_3</math>.
תכונות ההפרדה הן אינווריאנטיות תחת [[הומיאומורפיזם]]. כלומר: אם מרחב טופולוגי מקיים את אחת מתכונות ההפרדה, כל עותק הומיאומורפי שלו גם יקיים אותם. במובן זה, הם תכונות אינווריאנטיות טופולוגית שמאפיינות את המרחב (עוד דוגמה לתכונה כזאת היא מספר החורים במרחב, ראו [[טופולוגיה אלגברית]]).
 
* מרחב רגולרי לחלוטין שהוא גם <math>\ T_1</math> נקרא '''מרחב טיכונוף''', או '''מרחב <math>\ T_{3\frac{1}{2}}</math>'''. גם כאן, מרחב רגולרי לחלוטין שהוא <math>\ T_0</math> מקיים את התכונה <math>\ T_1</math>, ולכן הוא מהווה מרחב <math>\ T_{3\frac{1}{2}}</math>. כל מרחב כזה הוא בפרט <math>\ T_3</math>.
=== תורשתיות ===
 
=== הפרדה בין קבוצות סגורות ===
 
* מרחב שבו אפשר להפריד בין שתי קבוצות סגורות וזרות באמצעות קבוצות פתוחות, נקרא [[מרחב נורמלי]].
[[הלמה של אוריסון]] קובעת שבמרחב כזה, אפשר להפריד בין שתי קבוצות סגורות וזרות גם באמצעות פונקציה רציפה - ולכן שלוש הרמות הראשונות של הפרדה מתלכדות. בדרך כלל הפרדה זו אינה הפרדה מדוייקת (כפי שתוגדר בהמשך).
 
* מרחב נורמלי המקיים בנוסף את התכונה <math>\ T_1</math>, נקרא '''מרחב <math>\ T_4</math>'''.
כל מרחב <math>\ T_4</math> הוא בפרט <math>\ T_{3\frac{1}{2}}</math>.
 
=== הפרדה בין קבוצות מופרדות ===
 
'קבוצות מופרדות' הן קבוצות <math>\ A,B</math> במרחב טופולוגי, שכל אחת מהן זרה לסגור של רעותה (הקשר בין מונח זה לבין אקסיומות ההפרדה אינו אמיץ במיוחד). כל שתי קבוצות סגורות וזרות הן כמובן מופרדות, ולכן הפרדה בין קבוצות מופרדות היא תמיד חזקה לפחות כמו הפרדה בין קבוצות סגורות (אפילו בהעדר ההנחה <math>\ T_0</math>).
 
* מרחב שבו אפשר להפריד כל שתי קבוצות מופרדות באמצעות קבוצות פתוחות, נקרא [[מרחב נורמלי לחלוטין]], או '''מרחב נורמלי תורשתי'''.
במרחב כזה, כל תת-מרחב הוא נורמלי ב[[הטופולוגיה המושרית|טופולוגיה המושרית]].
 
* מרחב שבו אפשר להפריד כל שתי קבוצות מופרדות '''הפרדה מדוייקת''' באמצעות פונקציה, נקרא [[מרחב נורמלי באופן מושלם]] (perfectly normal). פירושה של הפרדה מדוייקת הוא שבהנתן הקבוצות המופרדות A ו- B, קיימת פונקציה רציפה <math>\ f:X\rightarrow \mathbb{R}</math>, כך ש- <math>\ f^{-1}(0)=A</math> ו- <math>\ f^{-1}(1)=B</math> (בהפרדה רגילה אנו דורשים רק <math>\ f^{-1}(0) \supseteq A</math> ו- <math>\ f^{-1}(1)\supseteq B</math>).
כמקודם, מרחב נורמלי באופן מושלם הוא תמיד נורמלי לחלוטין.
במרחב נורמלי באופן מושלם, כל קבוצה סגורה היא <math>\ G_\delta</math> (או באופן שקול: כל קבוצה פתוחה היא <math>\ F_\sigma</math>).
 
אם מוסיפים את ההנחה <math>\ T_1</math>, מתקבלות תכונות חזקות יותר:
* מרחב נורמלי לחלוטין שהוא גם <math>\ T_1</math>, נקרא '''מרחב <math>\ T_5</math>''', או '''מרחב <math>\ T_4</math> לחלוטין'''.
כל מרחב <math>\ T_5</math> הוא בפרט מרחב <math>\ T_4</math>.
 
* מרחב נורמלי באופן מושלם שהוא גם <math>\ T_1</math>, נקרא '''מרחב <math>\ T_4</math> באופן מושלם''', או '''מרחב <math>\ T_6</math>'''.
כל מרחב <math>\ T_6</math> הוא בפרט מרחב <math>\ T_5</math>.
 
מרחב מטרי מקיים את התכונה <math>\ T_6</math>, ולכן את כל שאר תכונות ההפרדה שמנינו.
 
=== סיכום ===
 
הטבלה מציגה את שמו של מרחב המקיים משימת הפרדה נתונה באופן נתון:
 
{| border="1"
|-
! || שתי קבוצות מופרדות || שתי קבוצות סגורות || קבוצה סגורה ונקודה || שתי נקודות
|-
| הפרדה מדוייקת על-ידי פונקציה || נורמלי באופן מושלם || - || - || -
|-
| הפרדה על-ידי פונקציה || - || נורמלי || רגולרי לחלוטין || האוסדורף לחלוטין
|-
| הפרדה על-ידי סביבות סגורות || - || נורמלי || רגולרי || אוריסון
|-
| הפרדה על-ידי סביבות || נורמלי לחלוטין || נורמלי || רגולרי || האוסדורף
|}
 
כל מרחב המופיע בטבלה מקיים את התכונה במשבצת שמתחת לזו בה הוא מופיע. אם מניחים את התכונה <math>\ T_0</math>, אז כל מרחב מקיים את התכונות שמשמאל למשבצת שבה הוא מופיע. בפרט,
: <math>\ \mbox{Metric} \Rightarrow T_6 \Rightarrow T_5 \Rightarrow T_4 \Rightarrow T_{3\frac{1}{2}} \Rightarrow T_3 \Rightarrow T_{2\frac{1}{2}} \Rightarrow T_2 \Rightarrow T_1</math>
 
 
<!--=== תורשתיות ===
 
יהי X מרחב טופולוגי המקיים את אחת מתכונות ההפרדה. יהי Y תת-מרחב שלו ב[[טופולוגיה מושרית|טופולוגיה המושרית]]. האם Y מקיים גם את תכונת ההפרדה? * עבור T1, T2, T3 , T3.5 ו T6 התשובה חיובית.
* עבור מרחב נורמלי התשובה היא שלילית.
* מרחב T5 הוא נורמלי תורשתי, אך לא כל תת מרחב שלו הוא T5. נניח ש <math>\ Z \subset Y \subset X</math> כאשר X הוא T5. אזי ידוע לנו ש Y הוא T4 בטופולוגיה המושרית מ X וכן Z הוא T4 בטופולוגיה המושרית מ X אך לא ברור ש Z הוא T4 בטופולוגיה המושרית ב Y.--> <!-- אם מישהו מוכן להעיר בנוסף הסעיף האחרון, כי אני לא הכי בטוח לגביו -->
<!-- אם מישהו מוכן להעיר בנוסף הסעיף האחרון, כי אני לא הכי בטוח לגביו -->
 
{{טופולוגיה}}
[[קטגוריה:טופולוגיה]]
 
 
[[en:Separation axiom]]