הבדלים בין גרסאות בדף "מרחב נורמלי באופן מושלם"

הדוגמא החשובה ביותר למרחבים נורמליים באופן מושלם היא זו של מרחבים מטריים. קל לראות שבמרחבשב[[מרחב מטרי]] <math>\ (X,d)</math> כל נקודה היא קבוצה סגורה, ולכן די להוכיח שאפשר להפריד באופן מדוייק בין שתי קבוצות סגורות זרות, A ו- B.

נסמן ב- <math>\ d_A : X \rightarrow \mathbb{R}</math> את הפונקציה <math>\ d_A(x)=\inf_{a\in A}d(a,x)</math>. פונקציה זו מקיימת את אי-השוויון <math>\ |d_A(y)-d_A(x)|\leq d(x,y)</math>, ולכן היא [[פונקציה רציפה|רציפה]]. בנוסף לזה, מן העובדה ש- A [[קבוצה סגורה|סגורה]] נובע ש- <math>\ d_A(x)=0</math> אם ורק אם <math>\ x\in A</math>. באופן דומה מגדירים את הפונקציה <math>\ d_B</math>. פונקציוץ מסוג זה לעיתים קרובות נקראות "המרחק בין קבוצה לנקודה" ואפשר לבנות מהן מעין [[מטריקה]] בין קבוצות במרחב מטרי.