הבדלים בין גרסאות בדף "מרחב נורמלי באופן מושלם"

מ (robot Adding: de, es Modifying: en)
== כל מרחב מטרי הוא <math>\ T_6</math> ==
 
הדוגמא החשובה ביותר למרחבים נורמליים באופן מושלם היא זו של מרחבים מטריים. קל לראות שבמרחבשב[[מרחב מטרי]] <math>\ (X,d)</math> כל נקודה היא קבוצה סגורה, ולכן די להוכיח שאפשר להפריד באופן מדוייק בין שתי קבוצות סגורות זרות, A ו- B.
 
נסמן ב- <math>\ d_A : X \rightarrow \mathbb{R}</math> את הפונקציה <math>\ d_A(x)=\inf_{a\in A}d(a,x)</math>. פונקציה זו מקיימת את אי-השוויון <math>\ |d_A(y)-d_A(x)|\leq d(x,y)</math>, ולכן היא [[פונקציה רציפה|רציפה]]. בנוסף לזה, מן העובדה ש- A [[קבוצה סגורה|סגורה]] נובע ש- <math>\ d_A(x)=0</math> אם ורק אם <math>\ x\in A</math>. באופן דומה מגדירים את הפונקציה <math>\ d_B</math>. פונקציוץ מסוג זה לעיתים קרובות נקראות "המרחק בין קבוצה לנקודה" ואפשר לבנות מהן מעין [[מטריקה]] בין קבוצות במרחב מטרי.
באופן דומה מגדירים את הפונקציה <math>\ d_B</math>. מכיוון ש- A ו- B זרות, <math>\ d_A(x)+d_B(x)>0</math> לכל x. מכאן נובע שהפונקציה <math>\ f(x)=\frac{d_A(x)}{d_A(x)+d_B(x)}</math> היא רציפה. קל לראות שהיא מפרידה באופן מדוייק בין A ל- B.
 
כעת נגדיר: <math>\ f(x)=\frac{d_A(x)}{d_A(x)+d_B(x)} \quad </math>.
 
באופןאנו דומהטוענים מגדירים אתשזו הפונקציה <math>\המבוקשת d_B</math>שמפרידה כנדרש. מכיוון ש- A ו- B זרותסגורות וזרות, <math>\ d_A(x)+d_B(x)>0</math> לכל x. מכאן נובע שהפונקציה <math>\ f(x)=\frac{d_A(x)}{d_A(x)+d_B(x)}</math> היא רציפה ומוגדרת הייטב. קל לראות שהיא מפרידה באופן מדוייק בין A ל- B ומקיימת: <math>\ f(A) = 0 \ , \ f(B) = 1</math>.
 
== ראו גם ==