הבדלים בין גרסאות בדף "בסיס (טופולוגיה)"

אין שינוי בגודל ,  לפני 12 שנים
מ
הגהה
מ (תיקון קישור)
מ (הגהה)
ב[[טופולוגיה]], '''בסיס''' ו'''תת-בסיס''' הן דרכים חסכוניות לתאורלתיאור המבנה של [[מרחב טופולוגי]]. מן הקבוצות בבסיס אפשר לבנות את ה[[קבוצה פתוחה|קבוצות הפתוחות]] בדרך של [[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]], ומן הקבוצות בתת-בסיס אפשר לבנות את הקבוצות הפתוחות בעזרת פעולות האיחוד וה[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]].
 
== הגדרה ==
'''בסיס''' של [[מרחב טופולוגי]] <math>\ ( X,\tau )</math> הוא אוסף <math>\ B</math> של [[קבוצה פתוחה|קבוצות פתוחות]], כך שכל קבוצה פתוחה מהווה איחוד של אברים מן הבסיס; במלים אחרות, <math>\ \tau=\{\cup_{b \in I}b | I \subseteq B\}</math>. מנקודת המבט של הנקודות במרחב, אפשר לתאר בסיס כאוסף B של קבוצות פתוחות, כך שלכל <math>\ x\in X</math> ולכל קבוצה פתוחה <math>\ x\in U</math>, קיימת קבוצה <math>\ b\in B</math> בבסיס, כך ש- <math>\ x\in b\subseteq U</math>.
 
ניתן לאפיין בסיס בצורה שקולה: אוסף B של קבוצות במרחב X הוא בסיס (לטופולוגיה כלשהי) [[אם ורק אם]] X [[כיסוי|מכוסה]] על ידי האוסף, ולכל שתי קבוצות <math>\ b_1,b_2 \in B</math> ונקודה בחיתוך <math>\ x\in b_1 \cap b_2</math>, קיימת קבוצה <math>\ b_3 \in B</math> בבסיס, כך ש- <math>\ x \in b_3 \subset b_1 \cap b_2</math>. כאמור, הגדרה זו גוררת את ההגדרה הראשונה, ולהיפךולהפך. יתרונה של הגדרה זו היא שקל לבדוק שהיא אכן מתקיימת לאוסף נתון של קבוצות. לדוגמה, קל לראות כי אוסף ה[[קטע פתוח|קטעים הפתוחים]] עם נקודות קצה [[מספר רציונלי|רציונליות]] מהווה בסיס לטופולוגיה הסטנדרטית על [[הישר הממשי]].
 
בסיס נקרא לפעמים גם '''מערכת [[סביבה (טופולוגיה)|סביבות]] יסודית'''.