הרחבת שדות – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 46:
אוסף האברים האלגבריים ב-K מהווה תת-שדה שלו, הנקרא '''הסגור האלגברי היחסי של <math>\,F</math> ב-K'''. בהרחבה אלגברית, כמו <math>\ K=\mathbb{Q}[\sqrt{2}]/\mathbb{Q}</math>, הסגור הזה הוא K. אם אין ב- K אף איבר אלגברי פרט לאברי <math>\,F</math>, (כלומר, <math>\,F</math> הוא הסגור האלגברי היחסי), אומרים ש-<math>\,F</math> '''סגור אלגברית''' בהרחבה. (אין פירושו של דבר ש-<math>\,F</math> הוא [[שדה סגור אלגברית]], אלא רק שבמובן מסוים, החיתוך של K עם ה[[סגור אלגברי|סגור האלגברי]] של <math>\,F</math> שווה ל-<math>\,F</math>). מקרה חשוב במיוחד של יחס זה בין השדות הוא '''הרחבה טרנסצנדנטית''' טהורה, שהיא הרחבה בה קיימת קבוצת יוצרים שאבריה אינם מקיימים אף יחס (כלומר, לא קיים פולינום בכמה משתנים, שאם מציבים בו יוצרים שונים מתקבל אפס).
כל הרחבה אפשר לפרק לשרשרת של הרחבות <math>\ F\subseteq F_1 \subseteq K</math>, כאשר <math>\ F\sub F_1</math> היא הרחבה טרנסצנדנטית טהורה, ואילו <math>\ F_1 \subseteq K</math> אלגברית; אם ההרחבה המקורית נוצרת סופית,
'''דוגמה''': נסמן ב- <math>\ F=\mathbb{F}_2</math> את השדה הסופי בן שני אברים, ונסמן ב- x,y שני משתנים מעל שדה זה, המקיימים את היחס <math>\ y^2+y=x^3+1</math>, שאותו נסמן באות E. [[שדה פונקציות|שדה הפונקציות]] של ה[[עקום אליפטי|עקום האליפטי]] E הוא, על-פי ההגדרה, <math>\ K=F(x,y|y^2+y=x^3+1)</math>. השדה <math>\,F</math> סגור אלגברית ב-K, ועם זאת ההרחבה אינה טרנסצנדנטית טהורה (מפני שהיוצרים x,y קשורים זה בזה ביחס E). לשדה זה יש תת-שדה <math>\ F_1 = F(x)</math>, שהוא הרחבה טרנסצנדנטית מדרגה 1 מעל <math>\,F</math>, וההרחבה <math>\ K/F_1</math> בעלת ממד 2.
| |||