הבדלים בין גרסאות בדף "חוג נתרי"

הוסרו 7 בתים ,  לפני 11 שנים
מ
הגהה
מ (בוט מוסיף: fi:Noetherin rengas)
מ (הגהה)
ב[[אלגברה מופשטת]], '''חוג נותרי''' הנו [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] עם יחידה המקיים את תנאי השרשרת העולה (ACC - Ascending Chain Condition) על ה[[אידאל (אלגברה)|אידאלים]] השמאליים שלו, כלומר כל סדרה עולה ממש של אידאלים שמאליים בחוג כזה מוכרחה להסתיים. חוגים אלו קרויים על שמה של [[אמי נתר]] אשר חקרה חוגים אלה, בעקבות מורה [[דויד הילברט]]. מתנאי השרשרת נובע שכל [[אידאל שמאלי]] של החוג הוא בעל מספר יוצרים סופי, ועובדה זו מגבילה את הגודל והמורכבות של חוגים נותריים. במידה ידועה, "תורת החוגים" עוסקת בעיקר בחוגים נותריים, משום שחוגים שאינם נותריים הם פראיים ומסובכים מכדי שאפשר יהיה להבין אותם.
ב[[אלגברה מופשטת]], '''חוג נותרי''' הינו [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] עם יחידה המקיים את תנאי השרשרת העולה
(ACC - Ascending Chain Condition) על ה[[אידאל (אלגברה)|אידאלים]] השמאליים שלו, כלומר כל סדרה עולה ממש של אידאלים שמאליים בחוג כזה מוכרחה להסתיים. חוגים אלו קרויים על שמה של [[אמי נתר]] אשר חקרה חוגים אלה, בעקבות מורה [[דויד הילברט]]. מתנאי השרשרת נובע שכל [[אידאל שמאלי]] של החוג הוא בעל מספר יוצרים סופי, ועובדה זו מגבילה את הגודל והמורכבות של חוגים נותריים. במידה ידועה, "תורת החוגים" עוסקת בעיקר בחוגים נותריים, משום שחוגים שאינם נותריים הם פראיים ומסובכים מכדי שאפשר יהיה להבין אותם.
 
אחת התכונות החשובות של חוגים אלה היא של[[אידאל ראשוני|אידאלים הראשוניים]] יש [[גובה של אידאל|גובה]] סופי - ולכן אפשר ללמוד את ה[[ספקטרום של חוג|ספקטרום]] באינדוקציה על הממד, דרך שרשראות של אידאלים ראשוניים. גובהם של האידאלים הראשוניים סופי, אבל אינו בהכרח חסום, ולכן ישנם חוגים נותריים ש[[ממד קרול]] שלהם אינסופי. עם זאת, ל[[אלגברה אפינית|אלגברות אפיניות]] (קומוטטיביות), שהן אחד המקורות העיקריים לדוגמאות של חוגים נותריים, יש ממד קרול סופי.
 
==הגדרות==
 
הנותריות מוגדרת (ברוב הספרים) במונחי האידאלים השמאליים. באופן דומה אפשר להגדיר גם:
* '''חוג נותרי-ימני''' - חוג המקיים את התנאי ACC על אידאלים ימניים
* '''חוג נותרי חלש''' - חוג המקיים את התנאי ACC על אידאלים דו-צדדיים
ישנם חוגים נותריים שאינם נותריים ימניים (ולהיפךולהפך), אבל בחוגים קומוטטיביים מתלכדות כל התכונות.
 
===קריטריון לחוג נותרי===
 
חוג הוא נותרי אם ורק אם הוא [[מודול נותרי|נותרי]] כ[[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] מעל עצמו (משום שהאידאלים השמאליים של החוג הם תת-המודולים שלו).