|
המשפט תקף כאשר מקדמי המטריצה מגיעים מ[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] [[חוג קומוטטיבי|קומוטטיבי]] כלשהו, ונובע ממנו שכל חוגי המטריצות <math>\ \operatorname{M}_n(C)</math> הם [[חוג עם זהויות|חוגי זהויות פולינומיות]].
==הוכחה==
{{להשלים}}
הוכחת המשפט היא די פשוטה ומסתמכת על שתי טענות עזר.
טענת עזר ראשונה היא הזהות:
<math>\mathbf{B}\, \mathrm{adj}(\mathbf{B}) = \mathrm{adj}(\mathbf{B})\, \mathbf{B} = \det(\mathbf{B})\, \mathbf{I}\qquad (*)</math>
כאשר <math>\mathbf{I}</math> היא [[מטריצת היחידה]] מסדר <math>\! n </math>.
טענת עזר שניה היא: קיימת התאמה טבעית בין חוג הפולינומים שמקדמיהם מטריצות לבין חוג המטריצות שאבריהן פולינומים. התאמה זו מהווה [[איזומורפיזם]] בין שני חוגים אלו:
:<math>M_n(F)[x] \cong M_n(F[x]) \qquad (**) \;</math>
לאחר קבלת טענות אלו ההוכחה היא די פשוטה.
אם-כן, תהי <math>\mathbf{A}</math> מטריצה ב- <math>\! M_n(F)</math>.
עתה נשתמש בזהות <math>(\mathbf{*})</math> ונציב במקום המטריצה <math>\mathbf{B}</math> את המטריצה <math>(\mathbf{xI-A})</math>.
נשמוט את השוויון האמצעי לקבלת: <math>\mathbf{(xI-A)}\, \mathrm{adj}(\mathbf{xI-A}) = \det(\mathbf{xI-A})\, \mathbf{I}</math>
עתה, נכתוב את השוויון, <math>\det(\mathbf{xI-A})\, \mathbf{I} = (\sum a_ix^i)\mathbf{I}</math>.
כאמור, באגף ימין קיבלנו מטריצה שאבריה הם פולינומים. מטענת העזר השנייה (**), הרי שנוכל לעבוד בחוג הפולינומים (שמקדמיהם מטריצות) כתוצאה מהאיזומורפיזם.
אם-כן, יהי <math>\!h(x)</math> פולינום ב- <math>\!M_n(F)[x]</math>. נוכל לקבל את השוויון, <math> h(xI-A) = \sum (a_ix^i)x^i </math>.
== מקורות ==
| 