|
ב[[מתמטיקה]], ובמיוחד ב[[קטגוריה (מתמטיקה)|תורת הקטגוריות]], '''מכפלה''' של אובייקטים בקטגוריה היא הכללה של בניות שונות במתמטיקה, כגון [[מכפלה קרטזית]] של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]], [[מכפלה ישרה]] של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]], [[מרחב מכפלה (טופולוגיה)|מכפלה של מרחבים טופולוגים]] וכו'. במהותה, מכפלה של זוג אובייקטים היא "האובייקט הכללי ביותר" שיש ממנו מורפיזם לכל אחד מזוג האובייקטים.
==הגדרה==
נניח כי ''C'' היא קטגוריה וכי <math>\,\{X_i|i \in I\}</math> היא משפחה של אובייקטים ב''C''. המכפלה של הקבוצה <math>\,\{X_i\}</math> היא אובייקט ''X'' ביחד עם אוסף מורפיזמים <math>\,\pi_i:X\rightarrow X_i</math> (הנקראות ההטלות הקנוניות, שהן לעתים קרובות, אם כי לא תמיד '''אפימורפיזמים''') אשר מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל אובייקט ''Y'' ואוסף מורפיזמים <math>\,f_i:Y\rightarrow X_i</math> קיים מורפיזם יחיד <math>\,f:Y\rightarrow X</math> כך שלכל <math>\,i \in I</math> מתקיים <math>f_i = \pi_i \circ f</math>. במילים אחרות, לכל ''i'' הדיאגרמה הבאה היא [[דיאגרמה קומוטטיבית]]:
[[תמונה:CategoricalProduct-01.png|מרכז|התכונה האוניברסלית של מכפלה]]
אם משפחת האובייקטים מכילה רק שני איברים, נהוג לסמן את המכפלה ב<math>\,X_1 \times X_2</math>, ואז התכונה האוניברסלית מבוטאת על ידי הדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה:
[[תמונה:CategoricalProduct-03.png|מרכז|התכונה האוניברסלית של מכפלת זוג אובייקטים]]
המורפיזם היחיד ''f'' ההופך את הדיאגרמה לקומוטטיבית מסומן לעתים ב<''f''<sub>1</sub>,''f''<sub>2</sub>>.
|
