פונקציית זטא של רימן – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט משנה: ja:リーマンゼータ関数 |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 14:
<math> \zeta(s) = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}} </math>, כאשר המכפלה עוברת על כל המספרים הראשוניים.
==
כפי שהיא מוגדרת בדרך כלל, על-ידי הסכום <math>\ \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}</math>, הפונקציה מתכנסת רק לערכים מימין לישר <math>\ \Re(s) = 1</math>. כדי להגדיר את הפונקציה על כל המישור, יש לבצע [[המשכה אנליטית]]: <math>\ \sum_{n=1}^{\infty}n^{-s} = \sum_{n=1}^{\infty}s \int_n^{\infty} \frac{dt}{t^{s+1}} = s \int_1^{\infty} \frac{[t]}{t^{s+1}}dt = \frac{s}{s-1} - s\int_{1}^{\infty}\frac{t-[t]}{t^{s+1}}dt</math>. האינטגרל בביטוי האחרון מתכנס מימין לישר <math>\ \Re(s) = 0</math>, ואפשר להשתמש בשוויון הזה כדי להגדיר את הפונקציה בתחום הרחב יותר.
אם מגדירים <math>\ \Lambda(s) = \Gamma(s/2)\pi^{-s/2}\zeta(s)</math>, כאשר <math>\ \Gamma</math> היא [[פונקציית גמא]], אז מתקיים השוויון <math>\ \Lambda(s) = \Lambda(1-s)</math> לכל s מרוכב שאינו שלם. משוואה זו, המדגימה את הסימטריה של פונקציית זטא ביחס לציר <math>\ Re(s)=1/2</math>, היא הבסיס לתאוריה הענפה של פונקציה זו, ושל פונקציות זטא בכלל.
| |||