חוג מנה – הבדלי גרסאות

נוספו 29 בתים ,  לפני 12 שנים
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
חוג המנה <math>\,\mathbb{R}[x] / I</math> [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפי]] ל[[שדה המספרים המרוכבים]]. הסיבה לכך היא שהמחלקה של האיבר ''[x]'' מקיימת ש <math>\,[x]^2 + [1] = [x^2+1] = [0]</math>, ולכן ''[x]'' הוא [[שורש ריבועי]] של מינוס אחד.
 
באופן יותר כללי, חוגי מנה משמשים לבניית [[שדה הרחבה|שדות הרחבה]]. נניח כי ''K'' הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] וכי ''f'' הוא [[פולינום אי פריק]] ב <math>\,K[x]</math>. אז המנה <math>\,L=K[x]/( \langle f)\rangle </math> היא שדה המכיל את ''K'' ושהאיבר <math>\,[x]</math> שבו מקיים שה[[פולינום מינימלי|פולינום המינימלי]] שלו מעל ''K'' שווה ל-''f''.
 
שימוש חשוב בדוגמה זו מתעורר בבעית הבניה של שדות סופיים. לדוגמה, עבור <math>\,F_3 = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}</math>, השדה בעל 3 איברים, הפולינום <math>\,f(x) = x^2+1</math> הוא אי-פריק מעל <math>\,F_3</math> (שכן אין לו [[שורש של פונקציה|שורשים]]), וניתן לבנות את חוג המנה <math>\,F_3[x]/(\langle f)\rangle </math>. זהו שדה עם <math>\,3^2=9</math> איברים. כל שדה סופי ניתן לבניה בדרך דומה תוך שימוש בשדות הסופיים ה[[שדה ראשוני|ראשוניים]].
 
חוגי הקואורדינטות של [[יריעה אלגברית|יריעות אלגבריות]] מהווים דוגמה חשובה לחוגי מנה המופיעה ב[[גאומטריה אלגברית]]. לדוגמה, עבור היריעה <math>\,V=\{(x,y):x^2=y^3\} \subseteq \mathbb{R}^2</math>, ניתן לזהות את חוג הפונקציות הפולינומיות על היריעה עם חוג המנה <math>\,\mathbb{R}[x,y]/(x^2-y^3)</math>, וזהו חוג הקואורדינטות של ''V''. ניתן ללמוד על הגאומטריה של ''V'' על ידי חקירה של חוג זה.
168

עריכות