היסטוריה של האריתמטיקה – הבדלי גרסאות

מגדר
מ (בוט החלפות: לצורכי ; מאחר ש;)
(מגדר)
[[תמונה:Rotschild canticles Septem artes liberales 1.jpg|שמאל|ממוזער|300px250px|האריתמטיקה נכללת עם [[שבע האמנויות החופשיות]] ונתפסה בעבר, ואף כיום, כחלק בסיסי מהידע של כל אדם משכיל. ניתן למצוא את הדמות המסמלת את האריתמטיקה בפינה התחתית-שמאלית של התמונה כאשר היא עסוקה ב[[מנייה|מניית]] חפצים. לצדה הדמות המייצגת את ה[[גאומטריה]] כשהיא עסוקה במדידת זווית. בפינה הימנית-עליונה מופיעה הדמות המייצגת את ה[[אסטרונומיה]] כשהיא צופה בכוכבים, ובשמאלית-עליונה דמות המציגה את ה[[דקדוק]] בדמות מורה המעניש את תלמידו. לא אחת, היו ההתפתחויות באסטרונומיה ובגאומטריה מובילות להתפתחויות באריתמטיקה, ולהיפך.]]
ה[[אריתמטיקה]] היא הענף העתיק ביותר ב[[מתמטיקה]] ואחד השימושיים שבו לצורכי יום-יום. ה'''היסטוריה של האריתמטיקה''' משתרעת על פני תקופות שונות, [[תרבות|תרבויות]] ומקומות שונים בהם התפתח ענף זה. בחלק מהמקרים היו אלה התפתחויות שנצברו על סמך ניסיון רב-שנים ובחלק מהמקרים היו אלה פירות מחקר של [[מתמטיקאי|מתמטיקאים]]. עד ל[[העת החדשה|עת החדשה]] התפתחה האריתמטיקה באופן שונה באזורים גאופוליטיים שונים, ולפיכך כרוכה היסטוריה זו גם בהיסטוריה ה[[דת|דתית]], ה[[חברה|חברתית]] והגאופוליטית של מקומות אלה. כך, למשל, עם כיבוש ה[[בבל]]ים את [[מסופוטמיה]], ירשו אלה את השימוש ב[[בסיס סקסגסימלי|בסיס 60]] מקודמיהם ה[[אשור]]ים. כדוגמה נוספת, רוחבית, ניתן להסתכל על מושג ה[[0 (מספר)|אפס]]. פיתוחו, כפי שהוא מוכר היום, עבר שלבים רבים והושפע רבות מהקשיים התפיסתיים, הדתיים והפילוסופיים שעורר בתרבויות השונות; מתפקידו כ"מקום ריק" למספר עצמאי בעל תכונות מיוחדות עבר האפס גלגולים ופיתוחים שונים<ref>בערך זה יפורטו שלבים אלה בפרקים המיוחסים לתרבויות אשר הרימו תרומה משמעותית לפיתוח המושג.</ref>.
 
 
==התקופה הפרהיסטורית==
[[תמונה:Ishango bone.jpg|שמאל|ממוזער|300px250px|עצם האישנגו מצולמת משני צדדיה]]
כבר ב[[פרהיסטוריה|עידן הפרהיסטורי]], [[האדם הנבון]] החל להבין את רעיונות המספר והחישוב, כנראה בעקבות הצורך בהגדרת בסיס להכללת עצמים. האדם החל לפתח במוחו דרכים לחישוב יעיל ופשוט, והשתמש בידיו כ"אמצעי מכליל" שבאמצעותו יוכל לחשב את העצמים שברשותו. לדוגמה, אם ברשותו הייתה אבן, והיה לו צורך בעוד אבן, הוא קישר בין האבנים לבין עצם אחר שברשותו, למשל אצבעותיו. הוא הבין שעליו להביא אבנים באותה כמות של אצבעותיו שקישר לאבנים.
 
 
==בבל==
[[תמונה:Babylonian numerals.jpg|שמאלמרכז|ממוזער|460px|[[ספרות בבליות|הספרות הבבליות]] – ניתן להבחין בנקל בשיטת הקיבוץ המשנית בה השתמשו הבבלים.]] {{-}}
בסביבות שנת 3500 לפנה"ס שלטו באזור [[מסופוטמיה]] ה[[אשור|אשורים]] אשר עשו שימוש ב[[כתב יתדות]] וערכו את חישוביהם ב[[בסיס סקסגסימלי|בסיס 60]]. בין השנים 2300 ל- 2100 לפנה"ס שלטו באזור זה ה[[אכד|אכדים]] אשר השפיעו על התרבות האשורית. הם הביאו עמם, בין היתר, את הגרסה שלהם לכלי המוכר לנו כיום יותר בתור ה"חשבונייה". בשנת 1900 לפנה"ס, אחרי שפלשו למסופוטמיה, קבעו ה[[בבל|בבלים]] את בירתם בבבל. סביר להניח כי הבבלים ירשו את שיטת הספירה שלהם מן האשורים והאכדים משום נוחיותה. להשערות בדבר בחירת המספר 60 כבסיס ראהראו ערך [[בסיס סקסגסימלי]].
 
[[ספרות בבליות|שיטת הספירה הבבלית]] הביאה עמה חידוש משמעותי ביחס לשיטות הקודמות לה: ה[[בבל|בבלים]] קישרו בין מיקומה של הספרה לבין הגודל שהיא מייצגת, בדומה ל[[השיטה העשרונית|שיטה העשרונית]] בימינו כאשר בסיס הספירה הוא, כאמור, [[בסיס סקסגסימלי|60]]. כדי למנוע את הצרך ביצירת 60 סימנים מוסכמים שונים, השתמשו הבבלים בספירת משנה קיבוצית (ראהראו תמונה).
בסביבות שנת 3500 לפנה"ס שלטו באזור [[מסופוטמיה]] ה[[אשור|אשורים]] אשר עשו שימוש ב[[כתב יתדות]] וערכו את חישוביהם ב[[בסיס סקסגסימלי|בסיס 60]]. בין השנים 2300 ל- 2100 לפנה"ס שלטו באזור זה ה[[אכד|אכדים]] אשר השפיעו על התרבות האשורית. הם הביאו עמם, בין היתר, את הגרסה שלהם לכלי המוכר לנו כיום יותר בתור ה"חשבונייה". בשנת 1900 לפנה"ס, אחרי שפלשו למסופוטמיה, קבעו ה[[בבל|בבלים]] את בירתם בבבל. סביר להניח כי הבבלים ירשו את שיטת הספירה שלהם מן האשורים והאכדים משום נוחיותה. להשערות בדבר בחירת המספר 60 כבסיס ראה ערך [[בסיס סקסגסימלי]].
 
[[ספרות בבליות|שיטת הספירה הבבלית]] הביאה עמה חידוש משמעותי ביחס לשיטות הקודמות לה: ה[[בבל|בבלים]] קישרו בין מיקומה של הספרה לבין הגודל שהיא מייצגת, בדומה ל[[השיטה העשרונית|שיטה העשרונית]] בימינו כאשר בסיס הספירה הוא, כאמור, [[בסיס סקסגסימלי|60]]. כדי למנוע את הצרך ביצירת 60 סימנים מוסכמים שונים, השתמשו הבבלים בספירת משנה קיבוצית (ראה תמונה).
 
החידוש המשמעותי בהכנסת שיטה זו לשימוש הוא בקיצור ההצגה של מספרים גדולים. בעוד ובשיטות שהן קיבוציות בלבד יש צרך בסימנים רבים על מנת להציג מספרים גדולים יחסית, בשיטות הכוללות קישור בין מיקום הספרה לסדר הגודל שלה, ישנו חיסכון יחסי במספר הספרות הדרושות להצגת המספר.
איש המאה ה-16, מתאוס הוסטוס, הניח כי האות V מסמלת יד פתוחה, כאשר כל זוג אצבעות, למעט האגודל, צמודות, ומכאן שהאות X היא שתי ידיים שכאלה. ישנה גם סברה כי X מצביע על ההרגל להעביר שני קווים מוצלבים על עשר יחידות כתובות, ואם כך, ה-V נובע כחצי מהקו המוצלב.
ההיסטוריון הגרמני [[תאודור מומזן]], שהיה מומחה להיסטוריה של [[האימפריה הרומית]], הוא זה שסבר כי האות C היא ראשי תיבות של centum (מאה) וכי M היא ראשי תיבות של mille (אלף). ייתכן כי האותיות L ו-D נבחרו כי הן האותיות הכי דומות מתוך האלפבית הרומי לחציהן המדויק של C (חצי ממאה-חמישים), ו-M בהתאמה.
 
 
למספרים גדולים השתמשו הרומאים בקו עליון מעל הספרה, המסמל למעשה את הכפלתה ב-1,000.
ובכתיב מתמטי <math>\sqrt{2} \approx 1 + \frac{1}{3}(1+ \frac{1}{4}(1 - \frac{1}{34})) = \frac{577}{408} \approx 1.4142156</math>. הקירוב מדויק עד הספרה החמישית אחרי הנקודה (זהו השבר הקרוב ביותר ל-<math>\ \sqrt{2}</math> מבין כל השברים שהמכנה שלהם קטן מ- 985). לא ידוע לנו כיום כיצד הושג דיוק מרשים זה, אך ישנן מספר השערות בנושא.
 
[[תמונה:Indian numerals 100AD.gif|מסגרת|שמאל|250px|גרסה של ספרות ברהאמיניות כפי שהיו מקובלות במאה הראשונה לפנה"ס.]]
בערך בסביבות המאה השלישית לפנה"ס, החלו להופיע ה[[ספרות ברהאמיניות|ספרות הברהאמיניות]] (ראהראו איור). ספרות אלה הן היסוד לספרות המוכרות לנו כיום מהשימוש ב[[השיטה העשרונית|שיטה העשרונית]]. הסימנים המוכרים לנו כיום התקבעו במאה החמש העשרה, בין היתר הודות לצורך במערכת מוסכמת שבא בעקבות [[מהפכת הדפוס]]. ישנן מספר השערות בנוגע לדרך בה אימצו ההודים את השילוב של [[השיטה העשרונית|בסיס עשרוני]] עם העקרון של סדר גודל התלוי במיקום הספירה. השערה אחת מתבססת על העובדה שהראשונים לקשר בין מיקום הסדרה לסדר הגודל שלה היו הבבלים. לפי השערה זו, העיקרון הועבר להודים על ידי היוונים כאשר ההודים "שילבו" אותו עם השימוש בבסיס ספירה עשרוני. השערה אחרת רואה בפיתוח התבססות על השיטה הסינית. השערה שלישית טוענת כי ההודים הגיעו לרעיון זה לבדם ללא גורם מתווך.
 
על חשיבותה של שיטת הספירה ההודית אמר [[פייר סימון לפלס]] את הדברים הבאים:
<math> \ 12+1 \times 20 + 3 \times 18 \times 20 + 14 \times 18 \times 20^2 + 8 \times 18 \times 20^3 = 1253912
</math>.<ref>יש לציין כי ברוב שיטות הספירה תלויות המיקום, מתבצע חישוב ערכו של המספר <math> \ a_n a_{n-1} a_{n-2} ... a_0 .a_{-1} a_{-2} ... a_m </math> בצורה
<math> \ a_n \times k^n+a_{n-1} \times k^{n-1}+a_{n-2} \times k^{n-2} + ... + a_0 \times k^0 + a_{-1} \times k^{-1}+ a_{-2} \times k^{-2}+ ... +a_{-m} \times k^{-m}</math>, ולא כמתואר לעיל (להרחבה ראהראו ערך [[בסיס (אריתמטיקה)|בסיס]]). </ref>
 
אצל בני המאיה התקיים קשר הדוק בין שיטת הספירה ל[[לוח השנה של המאיה|לוח השנה]]; אנשי המאיה עשו שימוש בשני לוחות שנה נפרדים: אחד בן 260 ימים אשר שימש לצרכים פולחניים וכלל 13 חודשים בני 20 יום כל אחד ואחד בן 365 ימים אשר שימש למטרות אזרחיות וכלל 18 חודשים בני 20 יום כל אחד ועוד "חודש" בין חמישה ימים.
3,269

עריכות