טופולוגיה – הבדלי גרסאות

טופולוגיה היא ענף רחב של המתמטיקה שיש לו תתי-תחומים רבים. החלוקה הבסיסית והמסורתית ביותר של טופולוגיה היא: [[טופולוגיה קבוצתית]] שמתבססת על ההיבטים היסודיים של הטופולוגיה וחקרת מושגים כגון [[קומפקטיות]] ו[[קשירות]], [[טופולוגיה אלגברית]], שבאופן כללי מנסה למדוד דרגות של קשירות באמצעות בניות אלגבריות כגון [[חבורות הומוטופיה]] ו[[הומולוגיה]], ו[[טופולוגיה גאומטרית]], שחוקרת בעיקר [[יריעה|יריעות]] ואת ה[[שיכונים]] שלהן ביריעות אחרות. אחד מתחומי המחקר הפעילים ביותר, כגון [[טופולוגיה בממדים נמוכים]], אינו נחשב תחום מחקר סדיר מספיק כך שייחשב ענף של הטופולוגיה.

 

 

== היסטוריה ==

[[מוריס פרשה]], בעבודתו המאחדת את עבודתם על מרחבי פונקציות של קנטור, [[וולטרה]], [[ארזלה]], [[הדמרד]], אסקולי ואחרים, הציג את ה[[מרחב מטרי|מרחב המטרי]] ב-[[1906]]. מרחב מטרי כעת נחשב מקרה פרטי של מרחב טופולוגי כללי. ב-1914, [[פליקס האוסדורף]] טבע את המונח ''מרחב טופולוגי'', ונתן את ההגדרה למה שכעת נקרא [[מרחב האוסדורף]]. בשימוש העכשווי, מרחב טופולוגי הוא אובייקט מעט כללי יותר ממרחב האוסדורף, שהגדרתו ניתנה לראשונה ב-1922.

 

 

== הקדמה אלמנטרית ==

 

[[פונקציה]] או מפה ממרחב טופולוגי אחד לאחר נקראת [[רציפה]] אם הדמות ההופכית של כל קבוצה פתוחה היא גם פתוחה. אם הפונקציה ממפה את ה[[מספרים ממשיים|מספרים הממשים]] למספרים הממשיים (שניהם מרחב עם טופולוגיה סטנדרטית), אז הגדרה זו של רציפות זהה להגדרה של רציפות שניתנת ב[[חדו"א]]. אם פונקציה רציפה היא [[חד חד ערכית]] ו[[פונקציה על|על]] והפונקציה ההופכית לפונקציה גם היא רציפה, אז היא נקראת [[הומאומורפיזם]] וה[[תחום]] של הפונקציה הומאומורפי ל[[טווח]]. דרך אחרת לחשוב על זה היא שלפונקציה יש הרחבה טבעית אל הטופולוגיה. אם שני מרחבים הם הומאומורפיים, אז יש להם תכונות טופולוגיות זהות, והם נחשבים מבחינה טופולוגית זהים. ה[[קובייה]] והספירה הם הומומורפיים, כמו גם ספל קפה וה[[בייגלה]] (טורוס). אך המעגל אינו הומומורפי לטורוס.

 

== מונחים ומשפטים בטופולוגיה ==

=== '''כמה משפטים בטופולוגיה כללית''' ===

{{להשלים}}

[[תמונה:TrefoilKnot-01.png|שמאל|ממוזער|150px| קשר התלתן, הקשר ה[[טריוויאלי (מתמטיקה)|לא טריוויאלי]] הפשוט ביותר ב[[תורת הקשרים]]]]