|
== משפט היחידות ויסודות השיטה ==
משפט היחידות ל[[משוואת לפלס]] גורס, כי בהינתן הפוטנציאל <math>\ \Phi(r)</math> על שפתו של נפח מסוים, אזי למשוואת לפלאסלפלס פתרון יחיד בתחום הכלוא בנפח. הוכחת המשפט מתבססת על הנחה בשלילה כי קיימים שני פתרונות שונים <math>\ \Phi_1</math> ו-<math>\ \Phi_2</math> לבעיית תנאי השפה הנתונה. כלומר, שניהם מקיימים את משוואת לפלאסלפלס: <math>\nabla^2 \Phi_{1,2}=0</math> ואת תנאי השפה הנתונים. כעת נבחן את ההפרש בין שני הפתרונות: <math>\ \Phi_3</math>. מאחר ושניששני הפתרונות מקיימים את משוואת לפלאסלפלס, גם הפרשם מקיים זאת <math>\ \nabla^2 \Phi_3=0</math>, וכן מתקיים <math>\ \Phi_3=0</math> על שפת הנפח הנתון. ואולם, <math>\ \Phi_3</math> הוא [[פונקציה הרמונית]] (כלומר הוא מקיים את משוואת לפלאסלפלס), ולכן אין לו נקודות קיצון מקומיות בתחום. מסיבה זו חייב להתקיים <math>\ \Phi_3=0</math> בכל התחום, כלומר <math>\ \Phi_1=\Phi_2</math> בכל התחום.
משפט יחידות דומה (עד כדי קבוע אדיטיבי) קיים גם עבור [[משוואת פואסון]]. שני משפטי היחידות קובעים כי פתרון בעיה אלקטרוסטטית הוא יחיד. שיטת מטעני הדמות מנצלת ידע זה. נניח ונרצה למצוא את ה[[פוטנציאל חשמלי|פוטנציאל]] (או השדה) באיזורבאזור מסוים בהינתן תצורת מטענים ותנאי שפה מסוימים. נוכל להוסיף מטענים מחוץ לאיזורלאזור בו אנו מתעניינים (כך איננו משנים את תצורת המטענים בו). אם המטענים שהוספנו מקיימים את תנאי השפה יחד עם המטענים הראשוניים, אזי הפתרון המוגדר על- ידי תצורת המטענים החדשה הוא הוא הפתרון באיזורבאזור בו התעניינו. הפתרון באיזורבאזור בו הוספנו מטענים לא יכול להימצא בדרך זו, כיוון שתצורת המטענים בו השתנתה (ולכן התצורה המקורית איננה מקיימת את אותן המשוואות).
המטענים החדשים המתווספים על מנת לקיים את תנאי השפה, ושאינם קיימים בבעיה המקורית, נקראים "מטעני דמות" (באנלוגיה לדמות של עצם הניצב מול מראה), ומכאן שם השיטה. פעולת הקביעה של מטעני הדמות ומיקומם נקראת שיקוף.
לכן נוכל לכתוב את המשוואה:
:<math>\ q^2(R^2+D^2-2xD)=Q^2(R^2+d^2-2xd)</math>
שיוויוןשוויון זה מתקיים עבור כל ערך של z על הכדור, ולכן ניתן לגזור מתוכו שתי משוואות בשני נעלמים (מטען הדמות ומרחקו) מן הראשית). פתרון המשוואה האפשרי היחיד הוא:
:<math>\ D=\frac{R^2}{d}</math>
:<math>\ Q=-q \frac{R}{d}</math>
:<math>\ \Phi=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left(\frac{q}{|r-(d,0,0)|} + \frac{Q}{|r-(D,0,0)|}\right)</math>
גם כאן מציאת הפוטנציאל במרחב מאפשרת למצוא את השדה בכל מקום, את צפיפות המטען המשטחית המושרית על הכדור, את המטען הכולל על הכדור (<math>-q</math>) וכד'וכדומה. פתרון זה הוא הבסיס למספר בעיות דומות בעלות תנאי שפה שונים במקצת, בהן הקליפה המוליכה המוארקת מוחלפת בקליפה מוליכה שאינה מוארקת, כלומר כזו שהפוטנציאל או המטען הכולל עליה ידועים. בבעיות מסוג זה, יש להוסיף מטען דמות '''נוסף''' במרכז הקליפה הכדורית. הסיבה לכך היא שהמטען המקורי ומטען הדמות הראשון מאפסים יחד את הפוטנציאל על הקליפה. כעת יש להסיט את הפוטנציאל על הקליפה (בכל הקליפה) בקבוע (זוהי ההשפעה של מטען או פוטנציאל שאינו אפס), ולשם כך בדיוק נועד מטען הדמות השני.
== ראו גם ==
| 