ויקיפדיה:הכה את המומחה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 355:
בבית ספר אמרו לנו שהאינטגרל זה מציאת שטח מתחת לגרף. תוך כדי שאני מנווט באינטרנט אני רואה שהשטח של <math> \frac{1}{x^2}</math> הוא סופי, והשטח של <math> \frac{1}{x}</math> הוא אינסופי (בשניהם גבולות האינטגרל הם בין 1 לאינסוף) ואני לא מבין למה? אני רואה ש <math> \frac{1}{x^2}</math> יורדת יותר מהר וע"פ החישובים זה אכן יוצא כך, אבל אני אשמח להסבר נוסף אינטואיטיבי.{{אלמ}}
:אני לא יודע אם זה באמת הסבר אינטואיטיבי, אבל הסיבה היא שהאינטגרל של <math> \frac{1}{x^2}</math> מצטבר כמו <math> \frac{1}{x}</math>, אבל האינטגרל של <math> \frac{1}{x}</math> מצטבר כמו <math> \ \log(x)</math> שהיא פונקציה שיורדת "לאט" - לאט מדי. חזקה 1- היא באמת מעניינת, כי לא רק האינטגרל של <math> \frac{1}{x^2}</math> מתכנס לשטח סופי, אפילו <math> \frac{1}{x^{1.0000000000000001}}</math> מתכנס. אבל <math> \frac{1}{x}</math> עצמו - לא. זה הגבול שאחריו השטח מתבדר. ‏[[משתמש:odedee|odedee]] <small>•</small> [[שיחת משתמש:odedee|שיחה]] 15:53, 14 באוגוסט 2009 (IDT)
::ההסבר האינטואיטיבי שאני בדר"כ מציע לתלמידים שלי הוא, ש[[אינטגרל לא אמיתי]] (קרא את הערך אם עדיין לא קראת) בקטע <math>\,[1,\infty]</math> הוא בעצם סכימה רציפה של כל הערכים של פונקציה כלשהי, '''על פני שטח אינסופי'''. עכשיו, כדי שהאינטגרל יתכנס, אנחנו רוצים לקבל בעצם '''מספר סופי''' בתור תשובה. ככל שאנחנו הולכים יותר ימינה על ציר ''x'', המשתנה ''x'' גדל יותר ויותר. הפונקציה צריכה, אם כן, '''לקטון במידה גדולה יותר מהמידה בה ''x'' גדל'''. הפונקציה <math>\frac{1}{x}</math> קטנה '''בדיוק''' במידה בה ''x'' גדל, אז כדי שהיא תקטן קצת יותר צריך להגדיל את המכנה בצורה שתהיה פרופורציונלית ל-''x'', וזאת ע"י העלאתו בחזקה גדולה מ-1. אגב, אם סוכמים על הקטע <math>\,[0,1]</math> מקבלים תוצאה '''הפוכה בדיוק''': הקטע הזה אמנם סופי על ציר ''x'', אך אינסופי על ציר ''y'', כי הפונקציה אינה חסומה שם. אם כן, הפונקציה צריכה לרדת יותר לאט מהמידה בה ''x'' יורד ככל שהולכים שמאלה על הצירים (מ-1 לכיוון 0), ולכן הפעם מעריך החזקה צריך להיות '''קטן''' מ-1. [[משתמש:ברק שושני|ברק שושני]] - [[שיחת משתמש:ברק שושני|שיחה]] 16:28, 14 באוגוסט 2009 (IDT)
| |||