|
|
|
==הכפלת נפחה של קובייה==
על פי האגדה, בסוףבשנת המאה החמישית430 לפנה"ס השתוללה ב[[אתונה]] מגפת [[דבר]] קשה. כאשר נשאל [[האורקל מדלפי|האורקל]] שבמקדש [[אפולו]] שבעיר [[דלפי]] כיצד לעצור את המגפה, ענה: הכפילו את נפח המזבח לאפולו. מזבח זה היה בצורת קובייה. האתונאים בנו מזבח חדש שאורך צלעו כפול מזה של המזבח הקיים. משלא נפסקה המגפה הבינו האתונאים את טעותם: נפח המזבח החדש היה גדול פי שמונה (שתיים בחזקת שלוש) מנפח המזבח המקורי. כך נולדה הבעיה הראשונה: כיצד לבנות קובייה שנפחה כפול מזה של קובייה נתונה. ליתר דיוק: כאשר נתונה צלע של קובייה, לבנות צלע של קובייה שנפחה כפול.
[[היפוקרטס מחיוס]] עברניסח מבעיהמחדש זואת לבעיההבעיה לזו של מציאת שני [[ממוצע#ממוצע הנדסי|ממוצעים גאומטריים]] עוקבים המשתלבים בין קטע נתון ובין קטע כפול באורכו. ממוצע גאומטרי של שני מספרים שווה לשורש הריבועי של מכפלתם, ובהתאם לכך מציאת ממוצע גאומטרי של שני קטעים פירושה בניית ריבוע ששטחו שווה לשטח מלבן שצלעותיו הן שני הקטעים הנתונים. הצגה מספרית של הבעיה של היפוקרטס היא: למצוא שני מספרים, a ו-b, כך שיתקיים:
<math>\frac{1}{a}=\frac{a}{b}=\frac{b}{2}</math>.
מבניות גאומטריות אלה מתקבל קטע שאורכו <math>\ \sqrt[3]{2}</math>, והיום ידוע שזה מספר שאינו [[שדה המספרים הניתנים לבנייה|ניתן לבנייה]] ב[[בניה בסרגל ומחוגה|סרגל ומחוגה]]. לכן לא ניתן להכפיל את הקובייה בעזרת סרגל ומחוגה בלבד.
קל לראות ש-a שווה ל- <math>\sqrt[3]{2}</math>, כלומר a הוא אורך הצלע של הקובייה הנדרשת. מכאן נובע שלא ניתן לבנות קובייה חדשה כנדרש בעזרת סרגל ומחוגה בלבד, שכן מספר זה אינו [[שדה המספרים הניתנים לבנייה|ניתן לבנייה]] בסרגל ומחוגה.
==תרבוע העיגול==
|
