החבורה הסימטרית – הבדלי גרסאות

אין שינוי בגודל ,  לפני 12 שנים
מ
בוט החלפות: דוגמה;
(אין צורך)
מ (בוט החלפות: דוגמה;)
===מחזור (Cycle) מסדר r===
הוא תמורה בה r איברים מחליפים ביניהם מקומות באופן מעגלי (נקרא גם אופן '''ציקלי'''). את המחזור מסמנים על ידי כתיבת אברי המחזור בתוך סוגריים עגולים, כאשר ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] של כל אבר היא האיבר שרשום אחריו. לדוגמה, <math>\ f=(1\ 4\ 7\ 9)\in S_9</math> הוא מחזור מסדר 4, שבו <math>\ f(1)=4, f(4)=7, f(7) = 9, f(9)=1</math> ולכל שאר המספרים מתקיים <math>\ f(x)=x</math> (באופן לא פורמלי אומרים שאת שאר האברים הוא "משאיר במקום").
שני מחזורים נקראים '''זרים''' אם קבוצות האברים שאותם הם '''לא''' משאירים במקום הן [[קבוצות זרות|זרות]]. לדוגמאלדוגמה, המחזור <math>(1 \ 2\ 9)</math> זר למחזור <math>(4\ 10\ 5)</math>. משפט בסיסי מראה כי ניתן להציג באופן יחיד כל תמורה כהרכבה של מחזורים זרים (עד כדי סדר), ולכן במובן מסוים מחזורים הם אבני הבנייה של חבורת התמורות.
 
'''חילוף''' (או בלעז '''טרנספוזיציה''') הוא מקרה פרטי של מחזור מסדר 2. כלומר, חילוף מחליף בין שני אברים בקבוצה ואת שאר אברי הקבוצה הוא משאיר במקומם.
 
==סימן של תמורה==
כאמור, '''חילוף''' היא תמורה שמחליפה שני איברים זה בזה ואת השאר היא משאירה במקום. ניתן להוכיח שכל תמורה יכולה להיכתב כמכפלה של חילופים. לדוגמאלדוגמה, קל לבדוק שכל מחזור מקיים את השיווין <math>(a\ b\ c\ d \dots y\ z)=(bc)(cd)\dots(yz)(za)</math>.
 
תמורה שניתן להציגה כמכפלה של [[מספר זוגי]] של חילופים נקראת תמורה זוגית, ואילו תמורה שהיא מכפלה של מספר אי-זוגי של חילופים נקראת תמורה אי-זוגית. למרות שההצגה של תמורה בתור מכפלת חילופים אינה יחידה, הזוגיות של מספר החילופים בכל שתי הצגות תמיד תהייה זהה, ולכן מושג הזוגיות של תמורה מוגדר היטב. בדוגמה של כפל התמורות, <math>\ g</math> היא מכפלה של שלוש חילופים ולכן היא אי-זוגית בעוד <math>\ f</math> היא תמורה זוגית.
271,876

עריכות