פונקציית גמא – הבדלי גרסאות

שונות, תיקון קישור [JS]
מ (בוט משנה: eo:Γ-funkcio)
(שונות, תיקון קישור [JS])
'''פונקציית גמא''' היא [[פונקציה]] [[פונקציה מרוכבת|מרוכבת]] [[פונקציה מרומורפית|מֶ‏רוֹ‏מורפית]], המרחיבה את מושג ה"[[עצרת]]" לכל [[המישור המרוכב]]: לכל מספר טבעי <math>\ n=1,2,\dots</math>, הפונקציה מקבלת את הערך <math>\ \Gamma(n)=(n-1)!</math>.
 
הפונקציה הוגדרה לראשונה על ידי [[לאונרד אוילר]] באמצע המאה ה-18, אך הסימון של ה[[פונקציה]] באות <math>\ \Gamma</math> נכנס לשימוש בעקבות עבודתו של [[לז'נדר]]. [[גאוס]] הציע גרסה מעט שונה של פונקציית גמא, <math>\ \Pi(z) = \Gamma(z+1)</math>, לה הוא קרא "פונקציית פאי", אלא שהסימון של לז'נדר הועדף ב[[צרפת]], ובעקבות זאת גם בשאר העולם.
 
הפונקציה מוגדרת במחצית הימנית של המישור המרוכב באמצעות ה[[אינטגרל]] <math> \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt</math>.
 
לפונקציית גמא [[קוטב (אנליזה מרוכבת)|קטבים]] (פשוטים) בנקודות <math>\,z=0,-1,-2,\dots</math> בלבד, ואין לה שורשים. הפונקצייה מקיימת את ה[[משוואה פונקציונלית|משוואה הפונקציונלית]] <math>\ \Gamma(z+1) = z\Gamma(z)</math>, המסבירה את הקשר לפונקציית העצרת, ועוד זהויות פונקציונליות רבות אחרות.
 
== הגדרה ==
 
פונקציית גמא מוגדרת על ידי ה[[אינטגרל]] הבא:
<div style="text-align: center;">
 
=== הקשר לפונקציית עצרת ===
[[תמונהקובץ:Gamma plot.svg|שמאל|250px|ממוזער|גרף של פונקציית גמא על הישר הממשי]]
 
ניתן להראות שעבור [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]], פונקציית גמא שווה לפונקציית ה[[עצרת]].
 
=== זהויות אחרות ===
 
זהות חשובה אחת לפונקציית גמא היא '''נוסחת השיקוף''': <math>\ \Gamma(1-z)\Gamma(z) = {\pi \over \sin \pi z}</math>.
 
מכאן נובע כי
<math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)^2 = {\pi \over \sin \pi/2}=\pi</math>, ולכן <math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}</math>.
 
</div>
 
[[תמונהקובץ:Gamma_abs.png|ממוזער|ימין|240px|גרף של הערך המוחלט של פונקציית גמא במישור המרוכב. <br /> באיור זה ניתן לראות בבירור את הקטבים של הפונקציה]]
 
לפונקציית גמא יש [[קוטב (אנליזה מרוכבת)|קוטב]] ב <math>\,z=-n</math> לכל <math>\,n</math> טבעי. בנקודה זאת נתון גם ש:
 
: <math>\operatorname{Res}(\Gamma,-n)=\frac{(-1)^n}{n!}.</math>
 
המכפלה האינסופית הבאה, כפי שהראה [[קארל ויירשטראס|ויירשטראס]], נכונה לכל <math>\,z</math> מרוכב, אשר אינו שלם אי-חיובי:
 
: <math>\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}</math>
 
כאשר <math>\,\gamma</math> הוא "[[קבוע אוילר]]".
 
==משפט בוהר-מולרופ==
משפט בוהר-מולרופ ([[w:en:Bohr–Mollerup theorem|Bohr–Mollerup theorem]]) הוא משפט המאפיין את פונקציית גמא. המשפט קרוי של-שמם של ה[[מתמטיקאי|מתמטיקאים]] ה[[דנמרק|דנים]] [[הארלד בוהר]] ו[[יוהאן מולרופ]] שהוכיחו אותו.
 
: '''משפט''': פונקציית גמא הממשית המוגדרת לכל <math>\,x>0</math> על ידי <math>\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\,dt</math> היא הפונקציה היחידה <math>\,f</math> בקרן <math>(0,\infty)</math> המקיימת:
משפט בוהר-מולרופ ([[w:Bohr–Mollerup theorem|Bohr–Mollerup theorem]]) הוא משפט המאפיין את פונקציית גמא. המשפט קרוי של-שמם של ה[[מתמטיקאי|מתמטיקאים]] ה[[דנמרק|דנים]] [[הארלד בוהר]] ו[[יוהאן מולרופ]] שהוכיחו אותו.
:# <math>\,f(1)=1</math>
 
:'''משפט''': פונקציית גמא הממשית המוגדרת לכל <math>\,x>0</math> על ידי <math>\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\,dt</math> היא הפונקציה היחידה <math>\,f</math> בקרן <math>(0,\infty)</math> המקיימת:
:#<math>\,f(1)=1</math>
:# <math>f(x+1)=xf(x)\ \mbox{for}\ x>0</math>
:# <math>\,f</math> היא [[פונקציה קמורה#פונקציה לוג-קמורה|פונקציה לוג-קמורה]]
 
אחת ההוכחות ל[[נוסחת סטירלינג]] משתמשת במשפט זה. במסגרת ההוכחה בונים פונקציה המקיימת את שלושת התנאים במשפט בוהר-מולרפ, ולכן פונקציה זו היא בהכרח פונקציית גמא.
 
<!-- הערה: דף זה מתורגם מהדף הרוסי בוויקיפדיה הרוסית. אם משהו מבין טוב יותר בנושא, אנא תקנו דברים לא נכונים (אם יש כאלה). -->
 
 
==קישורים חיצוניים==
* [http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html פונקציית גמא] באתר Wolfram mathworld
* [http://functions.wolfram.com/webMathematica/FunctionEvaluation.jsp?name=Gamma מחשבון לפונקציית גמא]