42,363
עריכות
אין תקציר עריכה |
|||
ב[[תורת ההסתברות]], '''פונקציית צפיפות
== פונקציית צפיפות ==
[[פונקציה אינטגרבילית]] ממשית f נקראת '''פונקציית צפיפות''' אם היא חיובית, והאינטגרל שלה <math>\ \int_{-\infty}^\infty f(x)dx</math> שווה ל-1. כל פונקציה כזו מגדירה התפלגות של [[משתנה מקרי]], על-ידי הנוסחה <math>\ P(a\leq X < b) = \int_{a}^{b} f(x)dx</math>. מן ההגדרה נובע שהסיכוי לכך שהמשתנה יקבל ערך a מסויים הוא תמיד אפס.
מאידך, משתנה מקרי X ש[[פונקציית הצטברות|פונקציית ההצטברות]] שלו <math>\ F(x) = P(X<x)</math> גזירה, מגדירה פונקציית צפיפות - הנגזרת של F. אינטואיטיבית, אפשר לחשוב על המכפלה <math>\ f(x)dx</math> בתור ההסתברות לכך ש <math>\ X</math> ייפול בקטע [[אינפיניטסימל|אינפיניטיסימלי]] <math>\ [x,x+dx]</math>.
פונקציית הצפיפות של ה[[התפלגות אחידה|התפלגות האחידה]] בקטע <math>\ [0,2]</math> היא <math>\ f(x) = \frac{1}{2}</math> בקטע, ואפס מחוץ לקטע. ▼
לא לכל [[התפלגות]] יש פונקציית צפיפות: ההסתברות המצטברת של [[משתנה מקרי בדיד]] אינה גזירה; למשתנה בדיד יש, כביכול, צפיפות אינסופית בנקודות שבהן ההסתברות שלו חיובית.
ל[[התפלגות נורמלית]] תקנית יש פונקציית צפיפות:▼
:<math>f(x)={e^{-{x^2/2}}\over \sqrt{2\pi}}.</math>▼
=== פונקציות המוגדרות כמעט בכל מקום ===
להתפלגות ישנה פונקציית צפיפות אם ורק אם
שתי פונקציות צפיפות <math>\ f(x)</math> ו- <math>\ g(x)</math> מייצגות את אותה ההתפלגות בדיוק אם הן שונות רק בקבוצת [[מידת לבג|לבג]] [[קבוצה ממידה אפס|ממידה אפס]].▼
== שימושים בפונקציית הצפיפות ==
אם נתון משתנה מקרי <math>\ X</math> בעל פונקציית צפיפות <math>\ f(x)</math>, אז ניתן לחשב את ה[[תוחלת]] שלו (אם קיימת) כך:
:<math>\operatorname{E}(X)=\int_{-\infty}^\infty x\,f(x)\,dx.</math>
== דוגמאות==
▲פונקציית הצפיפות של ה[[התפלגות אחידה|התפלגות האחידה]] בקטע <math>\ [0,2]</math> היא <math>\ f(x) = \frac{1}{2}</math> בקטע, ואפס מחוץ לקטע.
▲להתפלגות ישנה פונקציית צפיפות אם ורק אם [[פונקציית ההסתברות המצטברת]] שלה <math>\ F(x)</math> רציפה בהחלט. במקרה זה <math>\ F(x)</math> [[נגזרת|גזירה]] כמעט בכל מקום, הנגזרתה יכולה לשמש כפונקציית צפיפות:
▲ל[[התפלגות נורמלית]] תקנית יש פונקציית צפיפות:
▲שתי פונקציות צפיפות <math>\ f(x)</math> ו- <math>\ g(x)</math> מייצגות את אותה ההתפלגות בדיוק אם הן שונות רק בקבוצת [[מידת לבג|לבג]] [[קבוצה ממידה אפס|ממידה אפס]].
▲:<math>f(x)={e^{-{x^2/2}}\over \sqrt{2\pi}}.</math>
== ראו גם ==
|