פונקציית צפיפות: הבדלי גרסאות

אין תקציר עריכה
ב[[תורת ההסתברות]], '''פונקציית צפיפות ההסתברות''' של [[משתנה מקרי]] היא [[פונקציה]] המתארת את צפיפות ההסתברותהמשתנה בכל נקודה ב[[מרחב המדגם]]. ההסתברות שמשתנה מקרי יימצא בקטע מסוים היא ה[[אינטגרל]] של הצפיפות בקטע, ולכן המשתנה נוטה יותר לקבל ערכים שבהם הצפיפות גבוהה.
 
== פונקציית צפיפות ==
== התפלגויות רציפות במשתנה יחיד ==
פונקציית צפיפות ההסתברות באה לידי ביטוי בעיקר בהתפלגויות [[רציפות]] במשתנה יחיד. ל[[משתנה מקרי]] <math>\ X</math> יש פונקציית צפיפות <math>\ f(x)</math>, כאשר <math>\ f(x)</math> פונקצייה אי-שלילית, [[אינטגרל לבג|אינטגרבילית לפי לבג]] אם מתקיים:
:<math> \operatorname P [a <X \leq b] = \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x </math>
אזי, אם <math>\ F(x)</math> היא [[פונקציית ההסתברות המצטברת]] של <math>\ X</math>, מתקיים:
:<math>F(x) = \int_{-\infty}^x f(u) \, \mathrm{d}u</math> וגם <math> f(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} F(x) </math>
באופן אינטואיטיבי, ניתן לחשוב על <math>\ f(x)dx</math> בתור ההסתברות לכך ש <math>\ X</math> ייפול בקטע [[אינפיניטיסימאלי]] <math>\ [x,x+dx]</math>.
 
[[פונקציה אינטגרבילית]] ממשית f נקראת '''פונקציית צפיפות''' אם היא חיובית, והאינטגרל שלה <math>\ \int_{-\infty}^\infty f(x)dx</math> שווה ל-1. כל פונקציה כזו מגדירה התפלגות של [[משתנה מקרי]], על-ידי הנוסחה <math>\ P(a\leq X < b) = \int_{a}^{b} f(x)dx</math>. מן ההגדרה נובע שהסיכוי לכך שהמשתנה יקבל ערך a מסויים הוא תמיד אפס.
== פרטים נוספים ==
 
מאידך, משתנה מקרי X ש[[פונקציית הצטברות|פונקציית ההצטברות]] שלו <math>\ F(x) = P(X<x)</math> גזירה, מגדירה פונקציית צפיפות - הנגזרת של F. אינטואיטיבית, אפשר לחשוב על המכפלה <math>\ f(x)dx</math> בתור ההסתברות לכך ש <math>\ X</math> ייפול בקטע [[אינפיניטסימל|אינפיניטיסימלי]] <math>\ [x,x+dx]</math>.
פונקציית הצפיפות של ה[[התפלגות אחידה|התפלגות האחידה]] בקטע <math>\ [0,2]</math> היא <math>\ f(x) = \frac{1}{2}</math> בקטע, ואפס מחוץ לקטע.
 
לא לכל [[התפלגות]] יש פונקציית צפיפות: ההסתברות המצטברת של [[משתנה מקרי בדיד]] אינה גזירה; למשתנה בדיד יש, כביכול, צפיפות אינסופית בנקודות שבהן ההסתברות שלו חיובית.
ל[[התפלגות נורמלית]] תקנית יש פונקציית צפיפות:
 
:<math>f(x)={e^{-{x^2/2}}\over \sqrt{2\pi}}.</math>
=== פונקציות המוגדרות כמעט בכל מקום ===
 
להתפלגות ישנה פונקציית צפיפות אם ורק אם [[פונקציית ההסתברות המצטברת]]ההצטברות שלה <math>\ F(x)</math> [[פונקציה רציפה בהחלט]]. במקרה זה <math>\ F(x)</math> [[נגזרת|גזירה]] כמעט בכל מקום, הנגזרתהוהנגזרת יכולה לשמש כפונקציית צפיפות: <math>\frac{d}{dx}F(x) = f(x)</math>.
 
שתי פונקציות צפיפות <math>\ f(x)</math> ו- <math>\ g(x)</math> מייצגות את אותה ההתפלגות בדיוק אם הן שונות רק בקבוצת [[מידת לבג|לבג]] [[קבוצה ממידה אפס|ממידה אפס]].
 
== שימושים בפונקציית הצפיפות ==
 
אם נתון משתנה מקרי <math>\ X</math> בעל פונקציית צפיפות <math>\ f(x)</math>, אז ניתן לחשב את ה[[תוחלת]] שלו (אם קיימת) כך:
:<math>\operatorname{E}(X)=\int_{-\infty}^\infty x\,f(x)\,dx.</math>
 
== דוגמאות==
לא לכל [[התפלגות]] יש פונקציית צפיפות: למשל התפלגויות של [[משתנה מקרי בדיד|משתנים מקריים בדידים]].
 
פונקציית הצפיפות של ה[[התפלגות אחידה|התפלגות האחידה]] בקטע <math>\ [0,2]</math> היא <math>\ f(x) = \frac{1}{2}</math> בקטע, ואפס מחוץ לקטע.
להתפלגות ישנה פונקציית צפיפות אם ורק אם [[פונקציית ההסתברות המצטברת]] שלה <math>\ F(x)</math> רציפה בהחלט. במקרה זה <math>\ F(x)</math> [[נגזרת|גזירה]] כמעט בכל מקום, הנגזרתה יכולה לשמש כפונקציית צפיפות:
:<math>\frac{d}{dx}F(x) = f(x).</math>
 
ל[[התפלגות נורמלית]] תקנית יש פונקציית צפיפות:
שתי פונקציות צפיפות <math>\ f(x)</math> ו- <math>\ g(x)</math> מייצגות את אותה ההתפלגות בדיוק אם הן שונות רק בקבוצת [[מידת לבג|לבג]] [[קבוצה ממידה אפס|ממידה אפס]].
:<math>f(x)={e^{-{x^2/2}}\over \sqrt{2\pi}}.</math>
 
== ראו גם ==