אידיאל (אלגברה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
תיקון: קישורים, כותרת אחרונה ריקה [JS] |
|||
שורה 7:
# קבוצה S שהיא סגורה גם לפעולת הכפל נקראת "תת חוג"; אלא שלחוג טיפוסי יש תת-חוגים רבים, וקשה ללמוד מהם על החוג עצמו.
# אם הכפלת איבר של החוג, משמאל, בכל איבר של תת-חבורה חיבורית, נותנת איבר השייך גם הוא לתת-חבורה, תת-חבורה זו נקראת '''אידאל שמאלי'''; באופן דומה אפשר להגדיר '''אידאל ימני'''. אלו הם '''אידאלים חד-צדדיים''', המהווים דוגמאות בסיסיות [[מודול (מבנה אלגברי)|למודול]] מעל החוג.
# '''אידאל''' הוא קבוצה שהינה אידאל ימני ושמאלי גם יחד. דרישות אלה מן האידאל שקולות לכך שניתן יהיה להגדיר על קבוצת המנה פעולות, ההופכות אותה ל[[חוג מנה]].
== הגדרה פורמלית ==
יהא <math>\ R</math> חוג. נגיד על תת-קבוצה אמיתית <math>\ I \subsetneqq R</math> שהיא '''אידאל שמאלי''' אם יתקיימו שתי הדרישות הבאות:
# <math>\ (I,+)</math> היא תת-חבורה של <math>\ (R,+)</math>.
# לכל <math>\ r\isin R</math> ולכל <math>\ i\isin I</math> מתקיים <math>\ r\cdot i\isin I</math>.
נגיד על קבוצה זו שהיא '''אידאל ימני''' של <math>\ R</math> אם:
# <math>\ (I,+)</math> היא [[חבורה (מבנה אלגברי)#תת חבורה|תת חבורה]] של <math>\ (R,+)</math>.
# לכל <math>\ r\isin R</math> ולכל <math>\ i\isin I</math> מתקיים <math>\ i\cdot r\isin I</math>.
ונכנה קבוצה זו '''אידאל''' אם תהיה הן אידאל ימני והן אידאל שמאלי, כלומר:
# <math>\ (I,+)</math> היא [[חבורה (מבנה אלגברי)#תת חבורה|תת חבורה]] של <math>\ (R,+)</math>.
# לכל <math>\ r\isin R</math> ולכל <math>\ i\isin I</math> מתקיים <math>\ i\cdot r,r\cdot i\isin I</math>.
נשים לב שהגדרות אלה אינן שקולות מאחר שהחוג אינו בהכרח [[חילופיות|חילופי]].
שורה 51:
אידאל הנוצר על ידי איבר אחד נקרא '''אידאל ראשי'''. לאידאל שמאלי ראשי יש הצורה <math>\ Ra=\{ra | r\in R\}</math>, ולאידאל ימני ראשי הצורה הדואלית, <math>\ aR=\{ar | r\in R\}</math>. האידאל (הדו-צדדי) הנוצר על ידי <math>\,a</math> הוא קבוצה גדולה בהרבה: <math>\ RaR = \{r_1 a r_1'+\dots r_n a r_n'\}</math>, הכוללת את כל המכפלות <math>\ rar'</math> וכל הסכומים שלהן. כל אידאל הוא סכום (לאו דווקא סופי) של אידאלים כאלה.
[[תחום שלמות]] שבו כל האידאלים ראשיים נקרא [[תחום ראשי]]. לדוגמה, ב[[
=== [[הומומורפיזם (אלגברה)#תמונה וגרעין|גרעין של הומומורפיזם]] ===
שורה 63:
2. לכל <math>\ r_{1}\isin \mbox{Ker}(\varphi) , r_{2}\isin R</math>, מתקיים:
: <math>\ \varphi (r_{1}r_{2})=\varphi (r_{1})\varphi (r_{2}) = 0\varphi (r_{2})=0</math>
ולכן, <math>\ r_{1}r_{2}\isin \mbox{Ker}(\varphi)</math>.
3. לכל <math>\ r_{1}\isin \mbox{Ker}(\varphi) , r_{2}\isin R</math>, מתקיים:
: <math>\ \varphi (r_{2}r_{1})=\varphi (r_{2})\varphi (r_{1}) = \varphi (r_{2})0=0</math>
ולכן, <math>\ r_{2}r_{1}\isin \mbox{Ker}(\varphi)</math>.
==הגדרות ומשפטים הנוגעים לאידאלים==
ישנם כמה סוגים חשובים במיוחד של אידאלים, המוגדרים על-פי תכונות של חוג המנה. [[אידאל ראשוני]] הוא אידאל P של החוג, שעבורו החוג <math>\ R/P</math> הוא [[חוג ראשוני]]. אפשר לנסח תכונה זו גם כך: לכל שני אידאלים A,B, אם המכפלה AB מוכלת ב- P, אז אחד מן האידאלים מוכרח להיות מוכל ב- P. בחוג חילופי, אידאל הוא ראשוני אם ורק אם אינו יכול להכיל מכפלה ab של איברים, בלי להכיל אחד מן האיברים.
שורה 82 ⟵ 81:
'''אידאל מינימלי''' הוא אידאל שאינו מכיל אף אידאל פרט לאפס. למרות שלכאורה מדובר בתכונות סימטריות, אידאלים מינימליים הם בעלי תכונות שונות לחלוטין מאלו של אידאלים מקסימליים. בראש וראשונה, אידאלים כאלה לא תמיד קיימים (למשל, בחוג השלמים). כל אידאל מינימלי הוא ראשי, אבל ההיפך אינו נכון.
{{אלגברה מופשטת}}
| |||