אלגברת האוקטוניונים של קיילי – הבדלי גרסאות

אפשר לחשוב על האוקטוניונים בתור שמיניות של מספרים ממשיים. כל אוקטוניון הוא צירוף לינארי של '''אוקטוניוני היחידה''' <math>\left\{ 1,i,j,k,l,il,jl,kl \right\}</math>. כלומר, כל אוקטוניון <math>x</math> יכול להכתבלהיכתב בצורה:<br />{{ש}}

<math>x=x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k+x_{4}l+x_{5}il+x_{6}jl+x_{7}kl</math>{{ש}}

<br />עבור מקדמים ממשיים.

דרך שיטתית יותר להגדיר את האוקטוניונים היא באמצעות בניית קיילי-דיקסון. כמו שקווטרניונים יכולים להיות מוגדרים על ידי זוגות של מספרים מרוכבים, האוקטוניונים יכולים להיות מוגדרים על ידי זוגות של קווטרניונים. חיבור מתבצע על ידי חיבור כל רכיב עם המקביל לו. כפל של שני זוגות קווטרניונים <math>\left( a,b \right)</math> ו-<math>\left( c,d \right)</math> מתבצע כך:<br />{{ש}}

<math>\left( a,b \right)\left( c,d \right)=\left( ac-\bar{d}b,da+b\bar{c} \right)</math>{{ש}}

<br />כאשר <math>{\bar{z}}</math> מסמל את הצמוד של הקווטרניון <math>z</math>. הגדרה זו שקולה לקודמת, כאשר אוקטוניוני היחידה הם:<br />{{ש}}

ניקח <math>a,\ b,\ c</math> בתור שלישיית נקודות שנמצאות על קו ומסודרות לפי כיווני החצים. הכפל מתבצע על ידי{{ש}}

<br /><math>ab=c</math> וגם <math>ba=-c</math><br />{{ש}}

<br />ביחד עם תמורה מחזורית. כלל זה ביחד עם:

הצמוד של אוקטוניון<br />{{ש}}

<math>x=x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k+x{4}l+x{5}il+x{6}jl+x{7}kl</math>{{ש}}

<br />נתון על ידי:<br />{{ש}}

<math>\bar{x}=x_{0}-x_{1}i-x_{2}j-x_{3}k-x_{4}l-x_{5}il-x_{6}jl-x_{7}kl</math>{{ש}}

<br />ההצמדה מקיימת <math>\bar{\left(xy\right)}=\bar{y}\bar{x}</math>.

הנורמה של האוקטוניון <math>x</math> מוגדרת על ידי:<br />{{ש}}

<math>\left\| x \right\|=\sqrt{\bar{x}x}</math>{{ש}}

<br />השורש הריבועי מוגדר היטב, בגלל שהמכפלה <math>\bar{x}x</math> היא תמיד מספר ממשי אי שלילי:<br />{{ש}}

<math>\left\| x \right\|^{2}=\bar{x}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}</math>{{ש}}

<br />נורמה זאת שווה לנורמה האוקלידית במרחב <math>\mathbb{R}^{8}</math>.

קיום של נורמה על <math>\mathbb{O}</math> מרמזת על קיום של הופכי לכל איבר שאינו אפס. ההופכי של <math>x\ne 0</math> נתון על ידי:<br />{{ש}}

<math>x^{-1}=\frac{{\bar{x}}}{\left\| x \right\|^{2}}</math>{{ש}}

<br />מתקיים ש-<math>xx^{-1}=x^{-1}x=1</math>.

כפל באוקטוניונים אינו חילופי:<br />{{ש}}

<math>j=-ji\ne ji</math>{{ש}}

<br />וגם לא קיבוצי:<br />{{ש}}

לאוקטוניונים תכונה נוספת, שמשותפת לאלגברות <math>\mathbb{R}</math>, <math>\mathbb{C}</math>, וגם <math>\mathbb{H}</math>: הנורמה מקיימת<br />{{ש}}

<math>\left\| xy \right\|=\left\| x \right\|\left\| y \right\|</math>{{ש}}

<br />מה שאומר שהאוקטוניונים הם אלגברת חילוק נורמית.