הבדלים בין גרסאות בדף "קירוב ליניארי"

נוספו 126 בתים ,  לפני 10 שנים
מ
אין תקציר עריכה
מ
מ
[[Image:TangentGraphic2.svg|thumb|300px|הקו המשיק]]
 
'''קירוב לינארי''' או '''קירוב מסדר ראשון''' הוא מושג ב[[מתמטיקה]] המתאר [[קירוב]] של [[פונקציה]] מתמטית כלשהי באמצעות [[פונקציה לינארית]] (ליתר דיוק, [[פונקציה אפינית]]). לקירובים לינארים יש שימוש נרחב במדעים ובמתמטיקה כדי לקבל קירוב לערך הפונקציה בסביבה של ערך קבוע מראש. היות שפונקציות לינאריות הן קלות לחישוב ולפיתרון, קירובים לינארים מועדפים כמעט תמיד בניתוחים אנליטים ונומריים במידהאם והםהם מספקים את הדיוק הנדרש.
 
כאשר לפונקציה קיים קירוב לינארי, נאמר שהפונקציה [[דיפרנציאביליות|דיפרנציאבילית]].
 
==הגדרה==
בהינתן פונקציה ''<math>\ f''</math> על מרחב [[מספר ממשי|הממשיים]] שהיא רציפה וגזירה ושנגזרתה רציפה גם היא בסביבה של <math>\ a</math>, מתקבל מ[[טור טיילור]] עבור ''<math>\ n''=1</math> כי:
<div style="text-align: center;">
:<math> f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + R_2\ </math>
</div>
כאשר <math>\ R_2</math> הוא איבר השארית המייצג את סכום האיברים מסדר גבוה יותר. קירוב לינארי, או קירוב מסדר ראשון, מתקבל על ידי השמטת השארית, כך שמתקבלת הנוסחה:
<div style="text-align: center;">
:<math> f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a).</math>
</div>
 
ככל ש-<math>\ x</math> יהא קרוב יותר ל-<math>\ a</math> כך [[שגיאת קירוב|שגיאת הקירוב]] תהא קטנה יותר שכן האיברים של החזקות הגבוהות יותר של <math>(\ x-a)</math> ישאפו מהר יותר לאפס ויהיו זניחים ביחס לאיבר הלינארי ב-<math>(\ x-a)</math> והאיבר הקבוע.
כאשר <math>R_2</math> הוא איבר השארית המייצג את סכום האיברים מסדר גבוה יותר. קירוב לינארי, או קירוב מסדר ראשון, מתקבל על ידי השמטת השארית, כך שמתקבלת הנוסחה:
:<math> f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a).</math>
 
למעשה הנוסחאהנוסחה שלעיל היא בדיוק משוואת ה[[משיק]] לגרף של הפונקציה <math>\ f</math> בנקודה <math>\ (a, f(a))</math>.
ככל ש-<math>x</math> יהא קרוב יותר ל-<math>a</math> כך [[שגיאת קירוב|שגיאת הקירוב]] תהא קטנה יותר שכן האיברים של החזקות הגבוהות יותר של <math>(x-a)</math> ישאפו מהר יותר לאפס ויהיו זניחים ביחס לאיבר הלינארי ב-<math>(x-a)</math> והאיבר הקבוע.
 
ניתן לבצע קירוב לינארי לפונקציות [[מרחב וקטורי|וקטוריות]] [[דיפרנציאביליות]] באופן דומה, כאשר נקודת ההשקה תהא ב[[יעקוביאן]] של הפונקציה. לדוגמה, בהינתן פונקציה [[דיפרנציאביליות|דיפרנציאבילית]] <math>\ f(x, y)</math> על המספרים הממשיים, הקירוב הלינארי של <math>\ f(x, y)</math> עבור <math>\ (x, y)</math> קרובים ל-<math>\ (a, b)</math> נתון על ידי הנוסחה:
למעשה הנוסחא שלעיל היא בדיוק משוואת ה[[משיק]] לגרף של הפונקציה <math>f</math> בנקודה <math>(a, f(a))</math>.
 
ניתן לבצע קירוב לינארי לפונקציות [[מרחב וקטורי|וקטוריות]] [[דיפרנציאביליות]] באופן דומה, כאשר נקודת ההשקה תהא ב[[יעקוביאן]] של הפונקציה. לדוגמה, בהינתן פונקציה [[דיפרנציאביליות|דיפרנציאבילית]] <math>f(x, y)</math> על המספרים הממשיים, הקירוב הלינארי של <math>f(x, y)</math> עבור <math>(x, y)</math> קרובים ל-<math>(a, b)</math> נתון על ידי הנוסחה:
:<math>f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+\frac{\partial f}{\partial x}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(a,b\right)\left(y-b\right).</math>