נקודת קיצון – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט החלפות: דוגמה; היות ש; |
מ בוט מוסיף: pl:Minimum i maksimum (funkcje); שינויים קוסמטיים |
||
שורה 1:
[[
ב[[מתמטיקה]], '''נקודת קיצון''' (נקודת אקסטרמום) של [[פונקציה]] סקלרית היא נקודה שבה ערכה הוא גבוה ביותר או נמוך ביותר. יש להבדיל בין נקודות קיצון '''מקומיות''' ובין נקודות קיצון '''גלובליות'''. נקודת קיצון גלובלית היא כזו שהערך בה הוא הגדול ביותר (או הנמוך ביותר) בכל תחום ההגדרה של הפונקציה. לעומת זאת, נקודת קיצון מקומית הוא כזו שקיימת [[סביבה (טופולוגיה)|סביבה]] של הפונקציה שבה ערכה של הפונקציה באותה נקודה הוא הגבוה או הנמוך ביותר.
הדרך היעילה ביותר למציאת נקודות קיצון של פונקציה היא באמצעות שימוש ב[[נגזרת]].
== הגדרה פורמלית ==
תהא <math>\ f(x):\mathbb{R}^n\rarr \mathbb{R}</math> פונקציה.
* נאמר שהנקודה <math>\ x_0</math> היא '''מקסימום גלובלי''' של הפונקציה אם לכל נקודה <math>\ x</math> בתחום ההגדרה של הפונקציה מתקיים <math>\ f(x_0)\ge f(x)</math>.
* נאמר שהנקודה <math>\ x_0</math> היא '''מינימום גלובלי''' של הפונקציה אם לכל נקודה <math>\ x</math> בתחום ההגדרה של הפונקציה מתקיים <math>\ f(x_0)\le f(x)</math>.
* נאמר שהנקודה <math>\ x_0</math> היא '''מקסימום מקומי''' של הפונקציה אם קיימת [[סביבה (טופולוגיה)|סביבה]] <math>\ U</math> של <math>\ x_0</math> לכל נקודה <math>\ x\isin U</math> בתחום ההגדרה של הפונקציה מתקיים <math>\ f(x_0)\ge f(x)</math>.
* נאמר שהנקודה <math>\ x_0</math> היא '''מינימום מקומי''' של הפונקציה אם קיימת [[סביבה (טופולוגיה)|סביבה]] <math>\ U</math> של <math>\ x_0</math> לכל נקודה <math>\ x\isin U</math> בתחום ההגדרה של הפונקציה מתקיים <math>\ f(x_0)\le f(x)</math>.
בשם '''נקודת קיצון''' של <math>\ f(x)</math> נקרא לכל נקודת מינימום או מקסימום, מקומית או גלובלית, של הפונקציה.
שורה 17:
[[משפט פרמה (לנקודות קיצון)|משפט פרמה]] קובע כי אם פונקציה גזירה בנקודה מסוימת, ובאותה הנקודה יש לה נקודת קיצון (מקסימום מקומי או מינימום מקומי), ה[[נגזרת]] שווה לאפס באותה נקודה. כלומר שיפוע ה[[משיק]] לפונקציה בנקודה זו הוא אפס. ההפך לא תמיד נכון - [[נגזרת]] יכולה להיות שווה לאפס גם בנקודה שאינה מקסימום או מינימום, אלא [[נקודת פיתול]] או אחרת.<br />
נשים לב כי יכולה להיות נקודת קיצון גם במקרה בו ה[[נגזרת]] לא מוגדרת, כלומר בנקודה בה שיפוע ה[[משיק]], אם קיים, אינו מוגדר. לדוגמה, הפונקציה: <math> f(x)=\sqrt[3]{x^2} \!</math> שנגזרתה: <math>f'(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}</math> <br />
ניתן לראות כי הפונקציה מוגדרת ורציפה לכל <math>\ x</math>, אך אינה גזירה בנקודה <math>\ x=0</math> שהיא למעשה נקודת קיצון (מינימום מקומי וגלובלי) של הפונקציה. כלומר לא מוגדר שיפוע ל[[משיק]] בנקודה זו.<br /> היות שה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] החד צדדי של הנגזרת כאשר <math>\ x</math> שואף לאפס מימין ומשמאל הוא אינסופי, קיים בנקודה זו [[משיק אנכי]] לפונקציה.
== ראו גם ==
* [[מטריצה חיובית]]
{{אנליזה מתמטית}}
{{נ}}
[[קטגוריה:
[[en:Maxima and minima]]
שורה 34:
[[it:Massimo e minimo di una funzione]]
[[ja:極値]]
[[pl:Minimum i maksimum (funkcje)]]
[[pt:Pontos extremos de uma função]]
[[ru:Экстремум]]
| |||