הבדלים בין גרסאות בדף "הומומורפיזם"

נוספו 9 בתים ,  לפני 11 שנים
מ
תיקון: אותיות בכלמהו"שx‏2 [JS], תיקון קישור
מ (בוט מוסיף: hr:Homomorfizam)
מ (תיקון: אותיות בכלמהו"שx‏2 [JS], תיקון קישור)
ב[[אלגברה]], '''הומומורפיזם''' הוא [[פונקציה]] בין [[מבנה אלגברי|מבנים אלגבריים]] מאותו טיפוס, המשמר את כל המבנה (לרבות הפעולות, היחסים והקבועים).
 
* הומומורפיזם שהוא [[חד-חד ערכית|חד-חד ערכי]] נקרא '''מונומורפיזם'''.
* הומומורפיזם שהוא [[התאמה על|על]] נקרא '''אפימורפיזם'''.
* הומומורפיזם שהוא חד-חד ערכי ועל נקרא '''איזומורפיזם'''.
* הומומורפיזם שהוא מהמבנה אל עצמו נקרא '''אנדומורפיזם'''.
* איזומורפיזם שהוא מהמבנה על עצמו נקרא '''אוטומורפיזם'''.
 
הומומורפיזם שהוא [[חד-חד ערכית|חד-חד ערכי]] [[התאמה על|ועל]] נקרא [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפיזם]] ובמובן מסוים הוא [[יחס שקילות]] בין שני מבנים אלגברים. כלומר, אם שני מבנים אלגברים הם איזומורפיים זה לזה (כלומר: קיים איזומורפיזם ביניהם) אז אפשר לומר שהם בעצם אותו מבנה - עד כדי מתן שמות או תוויות שונות לאיברים שבו. מבנים אלגברים שזהים עד כדי איזומורפיזם הם זהים למעשה כמעט בכל מובן שהוא ומתכונות של מבנה אחד אפשר להקיש על תכונותיו של המבנה האחר.
 
 
==הומומורפיזם בין חבורות==
 
===תמונה וגרעין===
בהינתן הומומורפיזם, ה[[תמונה (אלגברה)|התמונהתמונה]] שלו תוגדר בתור הקבוצה שמתקבלת מהפעלת ההומומורפיזם על כל אברי התחום.
 
בצורה פורמלית: <math>\,\! \operatorname{Im} \varphi =\left\{\varphi (g)|g\isin G\right\} </math>. נשים לב כי <math>\,\! \operatorname{Im} \varphi \subseteq G' </math>.
 
בהינתן הומומורפיזם, ה[[גרעין (אלגברה)|הגרעיןגרעין]] שלו יוגדר בתור הקבוצה של כל האיברים בתחום שלו שעוברים ל[[איבר יחידה (אלגברה)|איבר היחידה]] של חבורת הטווח.
 
בצורה פורמלית: <math>\,\! \ker \varphi =\left\{g\isin G|\varphi (g)=e'\right\} </math>. נשים לב כי <math>\,\! \ker \varphi \subseteq G </math>.
 
== הומומורפיזם בין מרחבים לינאריים ==
 
[[טרנספורמציה לינארית]] בין שני [[מרחב וקטורי|מרחבים לינאריים]] היא הומומורפיזם שכן היא שומרת על תכונת הלינאריות. אם הטרנספורמציה הלינארית היא חח"ע ועל אזי היא נקראת '''איזומורפיזם''' בין שני המרחבים. כלומר, שני המרחבים זהים עד כדי שינוי שם האיברים (או שינוי שמות איברי ה[[בסיס (אלגברה)|בסיס]]).
 
עבור מרחבים נוצרים סופית, קיימת התוצאה החשובה הבאה:
: '''משפט:''' יהי V [[מרחב וקטורי]] נוצר סופית מ[[ממד (אלגברה לינארית)|ממד]] n מעל [[שדה (אלגברהמבנה אלגברי)|שדה]] F. אזי V איזומורפי למרחב F<sup>n</sup> (מרחב [[קואורדינטות (אלגברה)|וקטורי העמודה]] בגודל n שרכיביהם הם איברי השדה F).
 
==הומומורפיזם בין חוגים==
כאשר R ו- S [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]] (עם יחידה), הומומורפיזם הוא פונקציה <math>\ f:R\rightarrow S</math> השומרת על החיבור והכפל (כלומר, מקיימת <math>\ f(a+b)=f(a)+f(b)</math> ו- <math>\ f(ab)=f(a)f(b)</math> לכל a ו-b), ומעבירה את איבר היחידה (של R) לאיבר היחידה (של S). תכונה אחרונה זו אינה נדרשת מהומומורפיזם של חוגים בלי יחידה, וקיימים הומומורפיזמים כאלה (שאינם שומרים על איבר היחידה) גם בין חוגים עם יחידה. אם ל- R ו- S יש איבר יחידה, ו- S הוא [[תחום שלמות]], או ש- f היא על, אז כל פונקציה השומרת על החיבור והכפל, מעבירה את איבר היחידה לאיבר היחידה.
 
כאשר R ו- S [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]] (עם יחידה), הומומורפיזם הוא פונקציה <math>\ f:R\rightarrow S</math> השומרת על החיבור והכפל (כלומר, מקיימת <math>\ f(a+b)=f(a)+f(b)</math> ו- <math>\ f(ab)=f(a)f(b)</math> לכל a ו-b), ומעבירה את איבר היחידה (של R) לאיבר היחידה (של S). תכונה אחרונה זו אינה נדרשת מהומומורפיזם של חוגים בלי יחידה, וקיימים הומומורפיזמים כאלה (שאינם שומרים על איבר היחידה) גם בין חוגים עם יחידה. אם ל- R ו- S יש איבר יחידה, ו- S הוא [[תחום שלמות]], או ש- f היא על, אז כל פונקציה השומרת על החיבור והכפל, מעבירה את איבר היחידה לאיבר היחידה.
 
{{אלגברה מופשטת}}