אמידה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Yonidebest (שיחה | תרומות) מ קישורי זוטא |
סטטיסטיים מספיקים |
||
שורה 11:
נסמן את ערכי המשתנה שהתקבלו במדגם ב- <math>\ X_1,\dots,X_n</math>. אם כך, זהו מדגם ב'''גודל''' <math>\ n</math>. על-פי ה[[מודל סטטיסטי|מודל]] השכיח, המשתנים <math>\ X_i</math> הם בעלי אותה התפלגות התלויה (כאמור) בפרמטר לא ידוע, <math>\ \theta</math>,והם [[תלות (סטטיסטיקה)|בלתי תלויים]] זה בזה.
כל פונקציה <math>\ T = T(X_1,\dots,X_n)</math> של המשתנים <math>\ X_i</math> קרויה בשם '''סטטיסטי''', או, כאשר מבקשים להשתמש בה כדי לאמוד את הפרמטר, בשם '''אומד'''. מטרתו של האומד היא לתת הערכה מוצלחת לערכו של הפרמטר, ולכן
לא כל האומדים מתאימים באותה מידה למשימתם. תורת האמידה עוסקת בהשוואה של אומדים, ובבניה של אומדים מוצלחים.
שורה 21:
בין האומדים חסרי ההטיה, מעדיפים את זה ששונותו נמוכה יותר (משום שהוא 'יציב' יותר, ופחות תלוי במדגם שעלה בגורל).
במצבים מסויימים קיים אומד שהוא 'בעל שונות מינימלית במידה שווה', כלומר: אומד חסר הטיה T, כך שלכל אומד חסר הטיה אחר, <math>\ T'</math>, השונויות מקיימות <math>\ V(T)\leq V(T')</math>, וזאת '''לכל''' ערך של הפרמטר <math>\ \theta</math>. אומד כזה הוא '''אומד חסר הטיה בעל שונות מינימלית במידה שווה''', ובאנגלית Uniformly Minimal Variance Unbiased Estimator, ובקיצור UMVUE. אם שני אומדים חסרי הטיה (לאותו פרמטר) הם בעלי תכונה זו, אז הם שווים זה לזה ([[שוויון בהסתברות|בהסתברות 1]]).
== סטטיסטיים מספיקים ==
סטטיסטי הוא, כאמור, פונקציה של המדגם שאיננה מערבת את הפרמטר הלא ידוע. סטטיסטי S נקרא '''סטטיסטי מספיק''' אם כל המידע שמכיל המדגם על הפרמטר, ניתן למיצוי מתוך הסטטיסטי. במונחים טכניים, הדרישה היא שהתפלגות המדגם, המותנית בערכו של S, אינה תלויה עוד בפרמטר. שקולה לכך הדרישה שההתפלגות של כל סטטיסטי, כשהיא מותנית בערכו של S, אינה תלויה בפרמטר.
אפשר לזהות (ואף לחשב) סטטיסטים כאלה באמצעות [[משפט הפירוק (סטטיסטיקה)|משפט הפירוק]]. לפי משפט זה, סטטיסטי S הוא מספיק, אם פונקצית ה[[נראות (סטטיסטיקה)|נראות]] של המדגם מתפרקת למכפלה של שני מרכיבים: אחד מהם תלוי בפרמטר וב- S, והשני אינו תלוי בפרמטר.
הממוצע הוא סטטיסטי מספיק במקרים רבים (ובפרט כאשר עוסקים במשפחה של התפלגויות נורמליות, או של התפלגויות פואסון). כך למשל, ברגע שידוע כי גובהם הממוצע של עשרים הילדים שעלו במדגם הוא 157 סנטימטר, אין יותר צורך לדעת את גובהו של כל אחד ואחד מן הילדים (וליתר דיוק, נתונים אלה אינם יכולים ללמד אותנו דבר על הממוצע האמיתי של האוכלוסיה, מעבר למה שאפשר ללמוד מן המספר 157).
בהנתן סטטיסטי מספיק, [[משפט ראו בלקוול]] מספק שיטה לשיפור אומד חוסר הטיה: המשפט מבטיח את קיומו של אומד חדש, שגם הוא חסר הטיה, ושונותו קטנה יותר מזו של האומד הקודם. אומד זה הוא לעתים קרובות אומד אופטימלי, כלומר UMVUE.
[[en:estimation_theory]]
| |||