מערכת האקסיומות של הילברט – הבדלי גרסאות

'''III.1'''. לכל שתי נקודות a ו- b, ונקודה c על ישר L, יש בדיוק שתי נקודות, d ו- e, על L, כך ש- c בין d ו- e, והקטעים ab, cd ו- ce חופפים זה לזה (הקצאת קטע על ישר).

'''III.2'''. אם ab חופף ל- cd ול- ef, אז cd חופף ל- ef (טרנזיטיביות של חפיפת קטעים).

'''III.3'''. נניח שהקטעים ab ו- bc מונחים על הישר L באופן שהנקודה המשותפת היחידה להם היא b; וכן שהקטעים cdde ו- deef מונחים על הישר M באופן שהנקודה המשותפת היחידה להם היא d. אם ab חופף ל- cdde ו- bc חופף ל- deef, אז ac חופף ל- cedf (אדיטיביות).

'''III.4'''. לכל זווית abc וקרן de, קיימות בדיוק שתי קרניים dx ו- dy, כך שהזוויות xde ו- yde חופפות ל- abc. (הקצאת זווית על קרן).

'''III.5'''. אם הקטעים ab ו- xy חופפים, הקטעים ac ו- xz חופפים, והזוויות bac ו- yxz חופפות, אז המשולשים abc ו- xyz חופפים (חפיפת משולשים לפי צלע-זווית-צלע).