|
[[Image:Spherical triangle.svg|thumb|150px|משולש גיאודטי על ספירה תלת מימדית. הגיאודיזות הן ה[[מעגל גדול|מעגלים הגדולים]] של הספירה.]]
ב[[מתמטיקה]], גיאודזהגיאודיזה היא הכללה של מושג הקו ה[[ישר]] ל[[יריעה|יריעות]]. בהנתן [[מטריקה]] של מרחב, הגיאודזההגיאודיזה מוגדרת כמסלול הקצר ביותר בין שתי נקודות נתונות במרחב. בהנתן [[קשר אפיני]], למשל [[סמל כריסטופל|סמלי כריסטופל]], הגיאודזותהגיאודיזות מוגדרות כעקומים אשר ה[[וקטור משיק|וקטור המשיק]] שלהם נותר מקביל לאחר [[טרנספורט מקבילי]] לאורך העקום.
ניתן למצוא את ה[[מסילה]] הקצרה ביותר בין שתי נקודות במרחב עקום על ידי כתיבת משוואת אורך הקו לפי פרמטר כלשהו, ואז למצוא את המינימום של משוואה זו על ידי [[חשבון וריאציות]].
למושג הגיאודזההגיאודיזה תפקיד מרכזי ב[[תורת היחסות הכללית]], בהיותו מתאר תנועה במרחב עקום.
==גיאודזהגיאודיזה במרחב אוקלידי==
במרחב שטוח, הגיאודזההגיאודיזה מהווה את המרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות. עקום γ: ''I'' → ''M'' מאינטרוול I מעל הממשיים אל המרחב המטרי M הוא גיאודזהגיאודיזה, אם קיים קבוע ''v'' ≥ 0 כך שלכל ''t'' ∈ ''I'' קיימת סביבה ''J'' של ''t'' ב-''I'' כך שלכל ''t''<sub>1</sub>, ''t''<sub>2</sub> ∈ ''J'' מתקבל
:<math>d(\gamma(t_1),\gamma(t_2))=v|t_1-t_2|.\,</math>
משוואה זו מהווה הכללה של מושג הגיאודזההגיאודיזה עבור יריעה רימאנית. בגיאומטריה אוקלידית הגיאודזההגיאודיזה כוללת בתוכה את ה[[פרמטר טבעי|פרמטר הטבעי]], כלומר במשוואה לעיל ''v'' = 1 ולכן
:<math>d(\gamma(t_1),\gamma(t_2))=|t_1-t_2|.\,</math>
אם שויון זה מתקבל עבור כל ''t''<sub>1</sub>, ''t''<sub>2</sub> ∈''I'', גיאודזהגיאודיזה זו מהווה את ה"מסלול הקצר ביותר".
==גיאודזהגיאודיזה במרחב עקום==
ב[[גיאומטריה רימאנית]] עם [[טנסור מטרי]] ''g'', האורך של מסילה גזירה ברציפות γ : [''a'',''b''] → ''M'' מוגדר על ידי
| 