משפט ההצגה של ריס – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ תיקון עוד קישור |
מ בוט החלפות: תאוריה; לעתים; |
||
שורה 3:
==משפט ההצגה לפונקציונלים לינאריים חסומים על מרחב הילברט==
משפט זה מספק תיאור מלא של [[המרחב הדואלי]] של [[מרחב הילברט]]: אם השדה שמעליו עובדים הוא [[שדה המספרים הממשיים]], שני מרחבים אלו הם [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפיים]] (כ[[מרחב נורמי|מרחבים נורמיים]]) ואם השדה הוא [[שדה המספרים המרוכבים]], שני המרחבים הם אנטי-איזומורפיים. נוסף לכך, ה(אנטי-)איזומורפיזם המתואר במשפט הוא טבעי ביותר ונוח לשימושים
יהי <math>\mathcal{H}</math> מרחב הילברט עם [[מכפלה פנימית]] <math>\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle </math> ונסמן ב-<math>\mathcal{H}^{*}</math> את המרחב הדואלי שלו, כלומר את מרחב כל [[פונקציונל| הפונקציונלים הלינאריים הרציפים]] מ-<math>\mathcal{H}</math> לשדה הבסיס <math>\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{C}</math>. בהינתן <math>x\in\mathcal{H}</math> ההעתקה המוגדרת על ידי
שורה 72:
==משפט ההצגה לפונקציונלים לינאריים חסומים על C<sub>0</sub>(''X'')==
כמו קודם, נניח כי <math>X</math> הוא מרחב טופולוגי. המשפט הבא, המכונה
מידה מרוכבת <math>\mu</math> על <math>X</math> נקראת רגולרית אם מידת ההשתנות הכוללת שלה, כלומר <math>\left|\mu\right|</math>, היא מידת רדון רגולרית כפי שהמושג הוגדר לעיל עבור מידות חיוביות. מרחב כל המידות המרוכבות הרגולריות על <math>X</math> מסומן <math>M\left(X\right)</math> והוא מהווה מרחב וקטורי תחת הפעולות הסטנדרטיות של חיבור וכפל בסקלר של מידות. בנוסף לכך, ההעתקה <math>\mu\mapsto\left|\mu\right|</math> (כאשר <math>\left|\mu\right|</math> היא [[מידת ההשתנות הכוללת]]) מגדירה נורמה על <math>M\left(X\right)</math> והופכת אותו ל[[מרחב בנך]]. בהינתן מידה <math>\mu\in M\left(X\right)</math> ניתן להגדיר פונקציונל לינארי רציף על <math>C_{0}\left(X\right)</math> על ידי
| |||