אי-שוויון המשולש – הבדלי גרסאות

אין שינוי בגודל ,  לפני 14 שנים
מ
אין תקציר עריכה
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה
שורה 1:
[[תמונה:Triangle inequality.svg|שמאל|250px]]
 
ב[[מתמטיקה]], '''אי -שוויון המשולש''' הוא התרגום האלגברי לעובדה שב[[משולש]], אורכה של כל [[צלע (גאומטריה)|צלע]] קטן מסכום ארכי הצלעות האחרות, שבתורה נובעת מכך שהקו הישר הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות.
 
צורתו הכללית של אי-שוויון המשולש: <math>\ d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C)</math>, כאשר <math>\ d(\cdot,\cdot)</math> היא הפונקציה המודדת את המרחק. אי-שוויון זה נחשב לתכונה יסודית של כל [[מטריקה|שיטה למדידת מרחק]], ומשום כך מניחים, כאקסיומה, שהוא מתקיים בכל [[מרחב מטרי]] או [[מרחב נורמי|נורמי]].
 
הצד השני של אי -שוויון המשולש, אותו ניתן להוכיח על ידי העברת אגפים, הוא
<math>\ d(A,C)\geq d(A,B)-d(B,C)</math>.
 
שורה 11:
 
בין המספרים הממשיים מודדים מרחק באמצעות ה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]], ולכן אי-שוויון המשולש הוא <math>\ |a-c|\leq |a-b|+|b-c|</math>. כשבוחרים c=0, b=y ו- a=x+y, מתקבלת הצורה החלופית <math>\ |x+y|\leq |x|+|y|</math>. צורה זו אפשר להוכיח בעזרת חיבור שני אי-השוויונים <math>\ -|x|\leq x \leq |x|</math> ו- <math>\ -|y|\leq y \leq |y|</math>, או בדיקה של האפשרויות השונות לסימנים של x ושל y. <br />
גרסאגרסה נוספת של אי -שוויון המשולש היא: <math>|x-y| \geq \bigg||x|-|y|\bigg|</math>
 
=== הוכחת אי -שוויון המשולש - פורמלי ===
<math>\ -|x|\leq x \leq |x|</math> ו-<br />
<math>\ -|y|\leq y \leq |y|</math> נחבר בין אי השוויונים הנ"ל. ונקבל<br />