אידיאל ראשוני – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
עריכה |
המשך שכתוב |
||
שורה 7:
== דוגמאות ==
בחוג קומוטטיבי R, אידיאל האפס הוא ראשוני אם ורק אם החוג הוא [[תחום שלמות]], ובאופן כללי יותר, האידיאל P ראשוני אם ורק אם [[חוג מנה|חוג המנה]] R/P הוא תחום שלמות. [[אידיאל ראשי]] <math>\ Rp</math> בתחום שלמות הוא ראשוני אם ורק אם האיבר p ראשוני. בפרט, האידיאל <math>\ \mathbb{Z}n</math> ראשוני ב[[חוג המספרים השלמים]] אם ורק אם n מספר ראשוני.
כל [[אידיאל מקסימלי]] הוא ראשוני, אבל ההיפך אינו נכון, משום שקיימים תחומי שלמות שאינם שדות.
▲* אידאל <math>\,I</math> ב-<math>\,k[x_1,\dots,x_n]</math> (כאשר <math>\,k</math> שדה סגור אלגברית) מגדיר קבוצה אלגברית אפינית (קבוצת ה-n-יות אשר כל הפולינומים ב-<math>\,I</math> מאפסים). קבוצה זו תהיה אי-פריקה אם ורק אם האידאל הוא ראשוני. אודות כך ראו בערך [[יריעה אלגברית]].
== הספקטרום הראשוני ==
== מיקום ==
▲* [[תמונה הפוכה|התמונה ההפוכה]] של אידאל ראשוני תחת [[הומומורפיזם]] חוגים הינה אידאל ראשוני. תכונה זו מאפשרת להגדיר [[ספקטרום של חוג]] באופן [[פונקטור|פונקטוריאלי]], בניגוד ל[[ספקטרום מקסימלי|ספקטרום המקסימלי]] של חוג.
▲* אידאל הינו ראשוני אם ורק אם קבוצת האיברים אשר אינם שייכים לאידאל הינה לא ריקה וסגורה ביחס לכפל. לכן ניתן לבצע [[לוקליזציה]] של החוג ביחס לקבוצה זו, אשר נקראת בדרך כלל הלוקליזציה באידאל הראשוני הנתון.
'''שימושים:'''
שורה 28 ⟵ 26:
מכיוון שונה, אידאלים ראשוניים בחוגי פולינומים מעל שדה סגור אלגברית k מתאימים חד חד ערכית ליריעות אפיניות אי-פריקות (ראו בדוגמאות שלעיל). ליריעות אלו אפשר להתייחס כ"נקודות רב-ממדיות" של k<sup>n</sup> (אשר אינן בהכרח ממימד אפס). אידאלים מקסימליים מתאימים על פי [[משפט האפסים של הילברט]] לנקודות הרגילות, ממימד אפס. דבר זה מאפשר הפשטה: עבור '''כל''' חוג (חילופי) נגדיר את קבוצת ה"נקודות" של האובייקט הגאומטרי התואם לו כקבוצת האידאלים הראשוניים בחוג. על קבוצה זו מגדירים [[טופולוגיה]] מתאימה, ו[[אלומה (מתמטיקה)|אלומה]] של חוגים, כך שאנו מקבלים מבנה של [[מרחב מחויג]] מקומית. מרחב זה נקרא [[ספקטרום של חוג|הספקטרום של החוג]], או הסכמה האפינית התואמת לחוג, וזהו שלב ראשון בהגדרת [[סכמה (מתמטיקה)|סכמות]]: מושא המחקר הבסיסי של [[גאומטריה אלגברית|הגאומטריה האלגברית]] המודרנית.
[[קטגוריה: אלגברה]]
| |||