|
כל [[אידיאל מקסימלי]] הוא ראשוני, אבל ההיפך אינו נכון, משום שקיימים תחומי שלמות שאינם שדות.
אידאל <math>\,I</math> בחוג הפולינומים <math>\,k[x_1,\dots,x_n]</math> (כאשר <math>\,k</math> [[שדה סגור אלגברית]]) מגדיר קבוצה אלגברית אפינית (קבוצת ה-n-יות אשר כל הפולינומים ב-<math>\,I</math> מאפסים). הקבוצה הזו אי-פריקה אם ורק אם האידאל הוא ראשוני; ראו בערך [[יריעה אלגברית]].
== הספקטרום הראשוני ==
[[תמונה הפוכה|התמונה ההפוכה]] של אידאל ראשוני תחת [[הומומורפיזם]] חוגים הינה אידאל ראשוני. תכונה זו מאפשרת להגדיר [[ספקטרום של חוג]] באופן [[פונקטור|פונקטוריאלי]], בניגוד ל[[ספקטרום מקסימלי|ספקטרום המקסימלי]] של חוג.
מכיווןאידאל שונה<math>\, I</math> אידאליםבחוג ראשונייםהפולינומים בחוגי<math>\,k[x_1,\dots,x_n]</math> פולינומים(כאשר מעל<math>\,k</math> [[שדה סגור אלגברית ]]) kמגדיר מתאימיםקבוצה חדאלגברית חדאפינית ערכית(קבוצת ליריעותה-n-יות אשר כל הפולינומים ב-<math>\,I</math> מאפסים). הקבוצה אפיניותהזו אי- פריקותפריקה אם ורק אם האידאל הוא ראשוני; (ראו בדוגמאותבערך שלעיל)[[יריעה אלגברית]]. ליריעותאל היריעות אלו אפשר להתייחס כ"נקודותכאל רב-ממדיות"קבוצות שלממימד גבוה במרחב האפיני k<sup>n</sup> , (אשרבהכללה אינןלהתאמה בהכרח ממימד אפס).של אידאלים מקסימליים מתאימים על פי(לפי [[משפט האפסים של הילברט]] ) לנקודות הרגילות, ממימדשמימדן אפס. דבר זה מאפשר הפשטה: עבור '''כל''' חוג (חילופי) נגדיר את קבוצת ה"נקודות" של האובייקט הגאומטרי התואם לו כקבוצת האידאלים הראשוניים בחוג. על קבוצה זו , הספקטרום, מגדירים [[טופולוגיה]] מתאימה, ו[[אלומה (מתמטיקה)|אלומה]] של חוגים, כך שאנו מקבלים מבנה של [[מרחב מחויג]] מקומית. מרחב זה נקרא [[ספקטרום של חוג|הספקטרום של החוג]], או הסכמה האפינית התואמת לחוג, וזהו שלב ראשון בהגדרת [[סכמה (מתמטיקה)|סכמות]]: מושא המחקר הבסיסי של [[גאומטריה אלגברית|הגאומטריה האלגברית]] המודרנית. ▼
== מיקום ==
בחוג קומוטטיבי R, אידאל P הוא ראשוני אם ורק אם המשלים שלו סגור לכפל, ולכן הוא [[מונויד]]. כך אפשר לבצע [[מיקום (תורת החוגים)|מיקום]] של החוג ביחס לאותו אידיאל; החוג המתקבל <math>\ R_P</math>הוא [[חוג מקומי]], שהאידיאלים שלו מתאימים לאידיאלים המוכלים ב-P; בפרט, האידיאל המתאים ל-P הוא האידיאל המקסימלי היחיד.
אידאל הינו ראשוני אם ורק אם קבוצת האיברים אשר אינם שייכים לאידאל הינה לא ריקה וסגורה ביחס לכפל. לכן ניתן לבצע [[לוקליזציה]] של החוג ביחס לקבוצה זו, אשר נקראת בדרך כלל הלוקליזציה באידאל הראשוני הנתון.
== חוגי דדקינד ==
'''שימושים:'''
אידאלים ראשוניים הופיעו לראשונה בתורת המספרים האלגברית., ידועבנסיון היהלהכליל שחוק קיום ויחידות פירוקאת למספרים ראשוניים ([[המשפט היסודי של האריתמטיקה]]) הקייםעל בחוגפירוק המספריםיחיד (הרציונליים)של השלמיםמספר שלם לגורמים ראשוניים, אינולחוגי קייםמספרים בהכרחכללים בחוגייותר. המספריםפירוק השלמיםכזה שלהיה שדותנחוץ מספריםלצורך אלגברייםהוכחת [[המשפט האחרון של פרמה]]. [[ריכרד דדקינד]] מצא שלמרותשבחוגים זאת,מסויימים ניתן(הקרויים להוכיחעל-שמו בחוגים[[חוג אלהדדקינד|חוגי קיוםדדקינד]]) ויחידותיש פירוק יחיד של מספריםכל (אואידיאל גםכמכפלה אידאלים)של לאידאליםאידיאלים ראשוניים.
▲מכיוון שונה, אידאלים ראשוניים בחוגי פולינומים מעל שדה סגור אלגברית k מתאימים חד חד ערכית ליריעות אפיניות אי-פריקות (ראו בדוגמאות שלעיל). ליריעות אלו אפשר להתייחס כ"נקודות רב-ממדיות" של k<sup>n</sup> (אשר אינן בהכרח ממימד אפס). אידאלים מקסימליים מתאימים על פי [[משפט האפסים של הילברט]] לנקודות הרגילות, ממימד אפס. דבר זה מאפשר הפשטה: עבור '''כל''' חוג (חילופי) נגדיר את קבוצת ה"נקודות" של האובייקט הגאומטרי התואם לו כקבוצת האידאלים הראשוניים בחוג. על קבוצה זו מגדירים [[טופולוגיה]] מתאימה, ו[[אלומה (מתמטיקה)|אלומה]] של חוגים, כך שאנו מקבלים מבנה של [[מרחב מחויג]] מקומית. מרחב זה נקרא [[ספקטרום של חוג|הספקטרום של החוג]], או הסכמה האפינית התואמת לחוג, וזהו שלב ראשון בהגדרת [[סכמה (מתמטיקה)|סכמות]]: מושא המחקר הבסיסי של [[גאומטריה אלגברית|הגאומטריה האלגברית]] המודרנית.
[[קטגוריה: אלגברה]]
|
