משוואת החום – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 29:
<br /><br />
==
:<math> \ u(t,x) = X(x) T(t). \quad</math>▼
:<math>\frac{T'(t)}{kT(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}. \quad </math>▼
אחרי שגילנו ש
<math>\ \frac{dT}{dt}= c\,{\delta}T</math>
שווה ל
עכשיו אנחנו יכולים להתמודד עם הבעיה של גילוי הטמפ' בכל מקום ובכל זמן בתוך גוף.
לצורך העניין נסתכל על גוף שיש בו רק ציר אחד כלומר: צינור ארוך שמבודד לחלוטין מצדדיו.
<!-- עזרה בהוספת תמונה -->
קצוות הצינור מוחזקים בטמפ' קבועה של 0 מעלות צלזיוס. בתחילת הניסוי הטמפ' בכל נקודה בצינור מיוצגת ע"י הגרף שמצורף מעליו. כלומר פונקציה כלשהי של <math>\ T_0</math>
אנחנו מחפשים את הטמפרטורה בכל מקום בכל זמן. עלינו להגיע למשוואה דיפרנציאלית שתתאר את השינוי בטמפ'.כדי לעשות זאת נחלק את הצינור בדמיוננו לאינספור פרוסות דקות מאוד (ברוחב dX ) כך שבכל פרוסה הטמפ' יכולה להיחשב כאחידה.
<!-- עזרה בהוספת תמונה -->
נסתכל על מיקום מסוים X. הטמפ' בפרוסה זו היא <math>\ T(X)</math> והטמפ' הזו תשתנה בגלל שבסביבה ישנן שתי פרוסות שהטמפ' בהן שונה. אחת היא הפרוסה שמיקומה
<math>\ X+dX</math>
והטמפ' שלה:
<math>\ T(t+dx)</math>
והשניה שמיקומה
<math>\ x-dx</math>
והטמפ' בה <math>\ T(x-dx)</math>. קצב השינוי של הטמפ' תלוי בהפרשים של <math>\ T(x+dx)-T(x)</math> (הנגזרת) ו<math>\ T(x-dx)-T(x)</math>
הפרשים אלה קשורים לנגזרת של T לפי X <math>\ \frac{dT}{dx} = \ \frac{T(x+dx)-T(x)}{dx}</math>
למי שלא יודע זוהי הגדרת הנגזרת של T לפי X כאשר השתמשתי בסימן + כדי לייצג את הנגזרת בקצה הימני של הפרוסה ובסימן – כדי לייצג את הנגזרת בקצה השמאלי של הפרוסה.
כדי להבין זאת יותר טוב יש להסתכל על גרף הטמפ' לפי המקום: נבחר נקודה על הגרף. נסמן אותה X. הנגזרת שסימנו ב + מייצגת את שיפוע הגרף בכיוון ימינה מהנקודה וזו שסימנו ב – את שיפוע הגרף בכיוון שמאלה מהנקודה. שימו לב שהם הפוכים: אם כשהולכים ימינה הטמפ' יורדת אז כשהולכים שמאלה הטמפ' עולה. כלומר: הטמפ' בפרוסה x תגדל בגלל שבצד אחד שלה הטמפ' חמה יותר אבל תקטן בגלל שבצד השני הטמפ' קרה יותר. לכן השינוי בטמפ' בסופו של דבר יהיה תלוי בהפרש שבין הנגזרת מצד אחד לנגזרת מהצד השני:<math>\ \frac{dT}{dx} = \ \frac{d^2T}{dx^2}</math>
כלומר לקצב השינוי של הנגזרת כשזזים קצת ב X או במילים אחרות לנגזרת של הנגזרת.
קיבלנו אם כן שקצב השינוי של הטמפ' בכל נקודה פרופורציוני לנגזרת השניה של הטמפ' לפי המקום בנקודה זו.
מתמטית נייצג זאת כך:
<math>\ \frac{dT}{dt} = \ c \frac{d^2T}{dx^2}</math>
זוהי משוואה דיפרנציאלית שכוללת נגזרות לפי שני משתנים שונים. כשגוזרים פונקציה של כמה משתנים כל פעם לפי חלק ממשתניה הנגזרות נקראות 'נגזרות חלקיות' ולכן משוואה כזו מכונה 'משוואה דיפרנציאלית חלקית'.
== פתרון לצינור באורך פאי ==
קודם עלינו לפתור משוואה של גוף חד ממדי לפני שנעבור לדו ממדי ותלת ממדי.
נתון צינור באורך פאי. הטמפ' בקצוות שלו היא 0 מעלות. ו <math>\ T_0 = 30 </math> מעלות.
<!-- עזרה בהוספת תמונה -->
עכשיו אנחנו צריכים לחפש איזושהיא פונקצייה שבנקודה-0 ובנקודה <math>\ \pi</math> שווה ל-0.(כמו נתוני הקצה בצינור...)
הפונקצייה אשר תתאר מצב זה היא פונקציית הסינוס. כיוון שבפאי וב0 היא מתאפסת.
חילקנו קודם את הצינור לdxים קטנים, שבכל אחד מהם הטמפ' כרגע היא 30 מעלות. אחנו צריכים לסכום את הטמפ' בכל הצינור. הפעולה שעושה זאת היא אינטגראל. את האינטגראל אנו עושים לפי אורך הצינור (מאפס עד פאי).
לפי טור פורייה, כל פונקצייה מחזורית ניתן להציג כסכום של פונקציות סינוס וקוסינוס שארכי הגל שלהם הם שברים שלמים של אורך הגל של הפונקצייה המקורית.
לכן משוואת החום החדשה היא:
<math>\ A_n\,e^{-cn^2t}\,Sin(nx)</math>
קודם כל, ה <math>\ A_n = \ A_1 + \ A_2 + \ A_3... \ lim_{A \to \infty}</math>
*כשA מייצג את מכפלת הסיונסים\קוסינוסים.
לכן תיאורטית לא ניתן להגיע לפונ' המדויקת אלא לטמפ' אשר שואפת לפונקצייה זו כמו סדרה מתכנסת.
==דוגמה לאילוץ תנאי התחלה ושפה==
| |||