|
והרי לכם הפתרון של בעייה בממד אחד.
==כיצד יש לגשת לבעיה?==
==דוגמה לאילוץ תנאי התחלה ושפה==
א.נאפס תנאי שפה ואורך בצורה הבאה:
ניקח מוט באורך L, המבודד כולו פרט לקצה אחד שלו, שם הוא מוחזק בטמפרטורה קבועה. התנאים שנקבל:
<math>\ Sin[\frac{n{\pi}x}{Length}]</math>
*הערה:רק כאשר אורך הצינור הוא אינו פאי או כפולה של פאי.
משתמשים בנוסחא זו בכדי לסדר את תנאי השפה-אם נציב X=0 ו X=length תצא כפולה של פאי אשר מתאפסת.(לפי מחזוריות Sin)
*הערה: כאשר משנים תנאי שפה במשוואה שמעלים את N בריבוע, מעלים את מה שהצבנו בSin לא כולל הX והN!
*הערה: כאשר באחד מן הקצוות הטמפ' אינה 0, באינטגראל יש להוריד את פונ' הצינור המתאימה, לפרק לשתי טורי פורייה, ולהוסיף את הפונ' לתוצאה.
כשיש מצב בו אחד הצדדים של הצינור מבודד-נכפיל את הצינור בשתיים, ואז תיווצר בעיה חדשה עם אורך <u>כפול</u> . וזו הופכת לבעיה רגילה.
כאשר שני הצדדים מבודדים נעשה אותו הליך של סידור תנאי שפה רק עם קוסינוס, כיוון שקוסינוס של פאי הוא 1- ושל שני פאי הוא 1. לכן בפתרון יצא או 1- או 1 כפול משוואת החום.
ב. עושים פוריה(עם ה An וכו'), עושים אינטגראל מ0 עד אורך הצינור, הצבה באינטגראל, הצבה של זוגי ואי זוגי ואורך הצינור אשר מתאפס בכל כפולה שלו. ומגלים את משוואת החום בכל מקום ובכל זמן.
* '''תנאי התחלה:''' בזמן t=0 כל המוט בטמפ' החדר: <math> u(0,x) = T_{0} </math>
* '''תנאי שפה א':''' הטמפרטורה במקום x=0 קבועה תמיד: <math> u(t,0) = T_{max} </math>
* '''תנאי שפה ב':''' כל המוט מבודד, כך שנוכל לכתוב לגבי קצה המוט: <math> {\partial u\over \partial x}(t,L) = 0 </math>
מכיוון שבמשוואה הגדלים דיפרנציאליים, נוכל לבחור את נקודת האפס כרצוננו. נבחר את נקודת האפס של הטמפרטורה ב- <math> T_{max} </math>. למרות שהטמפרטורה במוט תמיד שלילית בסקלה זו, היא הטובה ביותר להתייחס בה לבעיה.
נאלץ את תנאי שפה א':
<math>u(t,0) = A e^{-\lambda^2 k t} * C = 0 \quad </math>
ומכאן
<math>C = 0 \quad </math>
נאלץ את תנאי ב':
<math> {\partial u\over \partial x}(t,L) = D e^{-\lambda^2 k t} \cos(\lambda \, L) = 0 </math>
כאשר D כולל בתוכו מספר פרמטרים שהיו קודם.
ונקבל כי λ יכול להיכתב בסדרה של ערכים אפשריים:
<math>\lambda \,_{n} = {\pi \, \over L} (n + \frac{1}{2}) </math>
מכאן שגם הפרמטר החופשי A יכול להיות מספר ערכים אפשריים, נקבל:
<math> u(t,x) = \sum_{n=0}^\infty A_{n} e^{-\lambda_{n}^2 k t} \ \sin(\lambda_{n} \, x) </math>
כשנשאר לנו למצוא את A<sub>n</sub>. נאלץ את תנאי השפה באמצעות [[טור פורייה]], וכפל בפונקציה <math>\sin(\lambda_{m} \, x)</math> עבור מספר שלם כלשהו m. אחרי ביצוע אינטגרל על כל המוט, נקבל:
<math> A_{n} = \frac{4 \ (T_{0}-T_{max})}{\pi \, (2n + 1)} </math>
כך שהפתרון למקרה אחרי אילוץ כל התנאים הוא:
<math> u(t,x) = T_{max} - \frac{4 \ (T_{max} - T_{0})}{\pi} \ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n+1} \ \sin \left( \pi \ (n+\frac{1}{2}) \ \frac{x}{L} \right) \ \exp \left( -\frac{k \ \pi^{2}}{L^{2}} \ (n+\frac{1}{2})^{2} \ t \right) </math>
[[קטגוריה:תרמודינמיקה]]
| 