משפט אוילר – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←המשפט |
מ הרחבה |
||
שורה 26:
<math>\ n</math>. כלומר - הוא שווה ל-<math>\ \phi \left(n\right)</math>.
==הרחבה==
משפט אוילר הוא מקרה פרטי של המשפט הבא (ג'יימס אלונזו):
יהיו <math>\ m,n</math> מספרים טבעיים. <math>n=\Pi_{i=1}^k p_i^{n_i}</math>, כאשר <math>\ p_1, \ldots, p_k </math> [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]] שונים ו-<math>\ n_i >0</math> עבור <math>\ i=1,\ldots,k</math>. נסמן <math>\ s_i=\mbox{gcd}(m, p_i^{n_i-1}(p_i-1))</math>, כאשר <math>\ \mbox{gcd}(a,b) </math> הוא ה[[מחלק משותף מקסימלי|מחלק המשותף המקסימלי]] של <math>\ a</math> ושל <math>\ b</math>, ו-<math>s=\Pi_{i=1}^k s_i</math>. אזי מספר הפתרונות של המשוואה <math>x^m \equiv 1 \pmod{n}</math> מחושב באופן הבא:
# אם ה-<math>\ p_i</math> כולם אי-זוגיים, אזי למשוואה <math>x^m \equiv 1 \pmod{n}</math> יש בדיוק <math>\ s</math> פתרונות שונים (מודולו <math>\ n</math>).
# אם אחד ה-<math>\ p_i</math> זוגי, נניח <math>\ p_1</math>, ו-<math>\ n_1</math>, החזקה שלו בפירוק של <math>\ n</math>, שווה 1 או 2, מספר הפתרונות גם כן <math>\ s</math>.
#אם אחד ה-<math>\ p_i</math> זוגי, נניח <math>\ p_1</math>, ו-<math>\ n_1</math>, החזקה שלו בפירוק של <math>\ n</math>, היא לפחות 3, מספר הפתרונות של המשוואה <math>x^m \equiv 1 \pmod{n}</math> (מודולו <math>\ n</math>) מחושב באופן הבא:
## אם <math>\ s_1 = 1</math> (כלומר <math>\ m</math> איזוגי) או ש-<math>\ s_1 = 2^{n_1-1}</math>, מספר הפתרונות הוא <math>\ s</math>.
##אם <math>\ 1<s_1 <2^{n_1-1} </math>, מספר הפתרונות הוא <math>\ 2s</math>.
==קישורים חיצוניים==
<div style="direction: ltr;">
* James Alonso, '''Number of Solutions of the Congruence''' ''x<sup>m</sup> = r (mod n)'', Mathematics Magazine, Vol. 46, No. 4 (Sep 1973), pp. 215-217 (pages [http://www.jstor.org/pss/2688306 215] and [http://www.jstor.org/pss/2688307 217] are freely available)
</div>
[[קטגוריה:תורת המספרים]]
[[קטגוריה:משפטים מתמטיים|אוילר]]
| |||