השערת המספרים הראשוניים התאומים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ שוחזר מעריכה של ישראל קרול (שיחה) לעריכה האחרונה של דוד שי |
ינון גלעדי (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
ב[[תורת המספרים]], '''השערת הראשוניים התאומים''' קובעת שישנם [[אינסוף]] זוגות של [[ראשוניים תאומים]], כלומר מספרים <math>\ p , p+2</math> ששניהם [[מספר ראשוני|ראשוניים]]. השערה זו היא אחת מן ה[[בעיה פתוחה במתמטיקה|בעיות הפתוחות]] המפורסמות בתורת המספרים וב[[מתמטיקה]] בכלל.
מתמטיקאים מאמינים שאכן ישנם אינסוף זוגות של ראשוניים תאומים, בגלל שורה של נימוקים [[היוריסטיקה|היוריסטיים]] המבוססים על תכונות [[סטטיסטיקה|סטטיסטיות]] של המספרים הראשוניים, ובגלל עדויות מספריות התומכות בהשערת הארדי-ליטלווד (ראו להלן). עם זאת, להשערה עדיין אין הוכחה.
<!--
הוכחה שהפיץ [[Richard Arenstorf]] ב- 2004 נמצאה שגויה לאחר מספר חודשים (ולפני שפורסמה בעיתונות המקצועית).
-->
שורה 15:
==השערת הארדי-ליטלווד==
בעוד שהשערת הראשוניים התאומים קובעת רק שישנם אינסוף זוגות של תאומים, השערת הארדי-ליטלווד מנבאת את ההתפלגות של מספר הזוגות, בצורה [[אנלוגיה|אנלוגית]] ל[[משפט המספרים הראשוניים]].
ממשפט המספרים הראשוניים נובע שהסיכוי של מספר טבעי להיות ראשוני, כאשר בוחרים אותו באקראי מבין המספרים מ-1 עד x, הוא <math>\ \frac{1}{\log x}</math>. אם הראשוניות של המספר a ושל המספר a+2 היו מאורעות [[תלות (הסתברות)|בלתי תלויים]], אז אפשר היה לצפות שהסיכוי של a להיות הקטן מבין צמד של ראשוניים תאומים הוא <math>\ \frac{1}{(\log x)^2}</math>. מתברר שניתוח זה הוא פשטני מדי: הוא מתעלם מכך שאם a הוא הקטן מבין ראשוניים תאומים, אז יש לו p-2 שאריות אפשריות בחלוקה במספר ראשוני קטן p, בעוד שאם a הוא ראשוני סתם, יש לו p-1 שאריות אפשריות.
שורה 29:
=== k-יה של ראשוניים ===
ישנה השערה מפורסמת (הקרויה באנגלית the k-tuple conjecture), שלפיה ישנם לא רק זוגות של ראשוניים תאומים, אלא קבוצות של k ראשוניים בעלי כל קשר לינארי אפשרי (פרט לאלו הנמנעים בגלל סיבות טריוויאליות, כגון a,a+2,a+4 שאחד מהם מוכרח להתחלק ב- 3); לדוגמה, משערים שישנם אינסוף [[ראשוני ז'רמן|ראשוניי ז'רמן]], כלומר זוגות של ראשוניים מהצורה <math>\ p,2p+1</math>. גם להשערה זו ישנה גרסה [[כמות|כמותית]] שנסחו הארדי וליטלווד.
לאחרונה ([[2005]]) הושגה התקדמות מסוימת בכיוון זה, כאשר Ben Green ו[[טרנס טאו]] הוכיחו שישנן אינסוף שלשות של ראשוניים מהצורה a,a+d,a+2d (כאשר a ו- d אינם קבועים מראש), וגם אינסוף רביעיות, וכן לסדרות בכל אורך. עם זאת, השיטות שלהם אינן מסייעות בפתרון הבעיה שהוזכרה בפסקה הקודמת.
| |||