התמרת לפלס – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←היסטוריה: הגהה - היה חסר רווח בין מילה למילה. |
תיקון: זוטות, סדר כותרות [JS] |
||
שורה 1:
'''התמרת לפלס''' היא כלי [[מתמטיקה|מתמטי]] שהשימוש בו מקל מאוד על ניתוח ההתנהגות של [[מערכת לינארית|מערכות לינאריות]] ללא תלות ב[[זמן]], כגון [[מעגל חשמלי|מעגלים חשמליים]] ומערכות [[מכניקה|מכניות]] ו[[אופטיקה|אופטיות]]. ההתמרה קרויה על-שמו של [[פייר סימון לפלס]].
[[
==הגדרה==
את התהליך בו מבצעים התמרת לפלס לפונקציה <math>\ f</math> מקובל לסמן <math>\ \mathcal{L}(f)</math>. אם <math>\ f(t)</math> היא [[פונקציה]] [[מספר ממשי|ממשית]], נהוג לסמן את ההתמרה שלה ב-<math>\ F(s)</math>, והיא מוגדרת לפי ה[[אינטגרל מסוים|אינטגרל המסוים]] <math>F(s)
= \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_{0^-}^\infty e^{-st} f(t)\,dt</math>.
כאן <math>\ \int_{0^-}</math> הוא סימון מקוצר ל- <font style="vertical-align:-20%;"> <math> \lim_{\epsilon \rightarrow +0} \int_{-\epsilon} \ </math> </font>.
התמרת לפלס היא [[התמרה אינטגרלית]]: [[פונקציה]] המקבלת פונקציה (ממשית או מרוכבת) ומחזירה פונקציה מאותו סוג. ההתמרה היא [[טרנספורמציה לינארית]] ממרחב הפונקציות הממשיות לעצמו (למעשה, הטרנספורמציה מוגדרת רק בתנאים מסוימים, כפי שיתואר בהמשך). ייחודה בכך שהיא מקיימת את הזהות <math>\ \mathcal{L}(f')=s\cdot \mathcal{L}(f)-f(0)</math>, וכך היא הופכת נגזרת לכפל במשתנה, תכונה המקלה על ניתוח של מערכות דינמיות לינאריות הקבועות בזמן. ההתמרה שימושית במיוחד בפתרון של [[משוואה דיפרנציאלית|משוואות דיפרנציאליות]]. ב[[הנדסת חשמל]] מקובל לומר שהתמרת לפלס מעבירה ממישור הזמן למישור התדר. זאת למרות שלמישור לפלס אין כלל משמעות של [[תדר]], ההתמרה שמעבירה ממישור הזמן למישור התדר היא [[התמרת פורייה]] (למעשה, אם s הוא מדומה טהור, התמרת לפלס זהה להתמרת פורייה). מישור לפלס הוא מישור מדומה ללא משמעות פיזיקלית פשוטה, שמשתמשים בו לפתרון משוואות דיפרנציאליות.
שורה 24 ⟵ 25:
==סדר מעריכי של פונקציה==
נשאלת השאלה לאילו פונקציות קיימת התמרת לפלס. על פי ההגדרה, אם האינטגרל מתכנס אז ההתמרה קיימת, אבל קיים גם מדד עבור הפונקציה עצמה - הסדר המעריכי שלה:<br />
לפונקציה <math>\ f(t)</math> יש סדר מעריכי בגובה <math>\ \alpha</math> אם קיימים קבועים <math>\ M>0, \alpha , t_0 \ge 0</math> כך שלכל <math>\ t \ge t_0</math> מתקיים <math>\ |f(t)| \le M e^{\alpha t}</math>.<br />
שורה 33:
== תכונות ==
בהינתן שתי פונקציות <math>\ f(t)</math> ו <math>\ g(t)</math>, והתמרות הלפלס שלהן הן <math>\ F(s)</math> ו-<math>\ G(s)</math> בהתאמה,
: <math> F(s) = \mathcal{L} \{ f(t) \} </math>
: <math> G(s) = \mathcal{L} \{ g(t) \} </math>
מתקיימות התכונות הבאות:
* כללי:
שורה 51:
= s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)</math>
* [[קונבולוציה]]:
: <math>\mathcal{L}\{f(t) * g(t)\}
= F(s) \cdot G(s) </math>
שורה 70:
: <math>\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\}
= f(t - a) u(t - a)</math>
: כאן <math>\ u(t)</math> היא [[פונקציית מדרגה]].
== התמרת לפלס של טורי חזקות ==
שורה 77:
==משפט הערך ההתחלתי==
אם קיימת התמרת לפלס של הפונקציות <math>\ f(t), f'(t)</math> אז מתקיים:
: <math>\ \lim\limits_{t\to 0^+} f(t)= \lim\limits_{s\to\infty} sF(s)</math>
משפט זה נוח במיוחד כאשר מעוניינים בערך התחילי של הפונקציה במישור הזמן, כי אינו מחייב חישוב התמרת הלפלס ההפוכה של F.
==משפט הערך הסופי==
אם קיימת התמרת לפלס של הפונקציות <math>\ f(t), f'(t)</math> וכל הקטבים של F נמצאים בחצי המישור השמאלי, ולכל היותר ישנו קוטב בודד בראשית, אז מתקיים:
: <math>\ \lim\limits_{t\to\infty} f(t)= \lim\limits_{s\to 0} sF(s)</math>
משפט זה שימושי כאשר מעוניינים בהתנהגות המערכת לאחר ריסון תנאי ההתחלה.
שורה 105:
<td align="center">לכל <math> s \ </math></td>
</tr>
<tr>
שורה 270:
<tr>
<td colspan="5">
<table>
שורה 282:
* <math> \delta(t) \, </math> מייצג את [[פונקציית דלתא של דיראק]].
* <math> \Gamma (z) \, </math> מייצג [[פונקציית גמא]].
* <math> \gamma \, </math> הוא [[קבוע אוילר]].
</td>
שורה 295:
<tr>
<td colspan="2">
* [[מערכת סיבתית]] היא מערכת שבה ה[[תגובה להלם]] (h(t היא אפס לכל זמןt<0.
</td>
</tr>
שורה 307:
== שימושים ==
* פתרון [[משוואות דיפרנציאליות]].
* בתורת הבקרה, כאשר מאפיינים מערכת, מופיעים לעתים קרובות ביטויים המערבים נגזרות. מאחר שהתמרת לפלס הופכת גזירה למכפלה ואינטגרציה לחלוקה, הטיפול בביטויים כאלה הוא נוח, וכאשר מאפייני המערכת אינם תלויים בזמן, התמרת לפלס של משוואות התנועה נותנת פולינומים, אשר מאפשרים אנליזה קלה של המצב (ע"ע: [[פונקציית תמסורת]]).
== ראו גם ==
* [[התמרת פורייה]]
== לקריאה נוספת ==▼
==קישורים חיצוניים==▼
[http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=WC4AFFCB92.3&+lang=en&+module=tool%2Fanalysis%2Ffourierlaplace.en מחשבון להתמרת לפלס ישירה והפוכה]▼
▲==לקריאה נוספת ==
* Schiff, Joel L., ''The Laplace transform: theory and applications'', Springer-Verlag, 1999, New York.
▲==קישורים חיצוניים==
▲* [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=WC4AFFCB92.3&+lang=en&+module=tool%2Fanalysis%2Ffourierlaplace.en מחשבון להתמרת לפלס ישירה והפוכה]
[[קטגוריה:אנליזה פונקציונלית]]
| |||